Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Груз массой 1,4 kg на пружине с k = 390 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 19 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 15 cm от положения равновесия.
m = 1,4 kgk = 390 N/mA = 19 cmx = 15 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,4 s и амплитудой 10 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 10 cm в точку со смещением 9 cm?
T = 3,4 sA = 10 cmx = 9 cm
t = s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Свет идёт в среде «флинт» (n = 1,62) к плоской границе со средой «акрил» (n = 1,49). Найдите критический угол θc, за пределом которого происходит полное отражение.
n1 = 1,62n2 = 1,49
θc = °
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 550 nm проходит через одиночную щель шириной 0,15 mm. Найдите угол θ2 тёмной полосы номер 2 относительно направления прямого прохождения.
λ = 550 nma = 0,15 mmm = 2
θ2 = °
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: v = 1,946 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(390/1,4) = 16,69 rad/s
Скорость в точке x
v = ω·√(A² − x²) = 16,69·√(0,19² − 0,15²) = 1,946 m/s
Ответ
v = 1,946 m/s
2.Пружины и маятники
Ответ: t = 0,2441 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = 2π/T = 2π/3,4 = 1,848 rad/s
Выразите время
0,9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,9) = 0,451 rad
t = 0,451/1,848 = 0,2441 s
Ответ
t = 0,2441 s
3.Волны, звук и оптика
Ответ: θc = 66,89 °
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Преломление под 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,49/1,62 = 0,9198
Критический угол
θc = arcsin(0,9198) = 66,89°
Ответ
θc = 66,89°
4.Волны, звук и оптика
Ответ: θ2 = 0,4202 °
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Условие тёмной полосы
sin θ = mλ/a = 0,007333
θ = 0,4202°
Ответ
θ2 = 0,4202°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics