Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 190 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 10 cm от положения равновесия.
m = 1,7 kgk = 190 N/mA = 13 cmx = 10 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 1 kg на пружине с k = 140 N/m оттягивают на 19 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.
m = 1 kgk = 140 N/mA = 19 cm
amax = m/s²
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Предмет находится в 8 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 5 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).
do = 8 cmf = 5 cm
m =
4.Волны, звук и оптикаСложная
У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,62 и оболочка с n₂ = 1,59. Найдите наибольший угол θa к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.
n1 = 1,62n2 = 1,59n0 = 1,00
θa = °
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: v = 0,8782 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(190/1,7) = 10,57 rad/s
Скорость в точке x
v = ω·√(A² − x²) = 10,57·√(0,13² − 0,1²) = 0,8782 m/s
Ответ
v = 0,8782 m/s
2.Пружины и маятники
Ответ: amax = 26,6 m/s²
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(140/1) = 11,83 rad/s
Наибольшее ускорение
amax = A·ω² = 0,19·11,83² = 26,6 m/s²
Ответ
amax = 26,6 m/s²
3.Волны, звук и оптика
Ответ: m = −1,667
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Формула тонкой линзы
1/di = 1/f − 1/do = 1/5 − 1/8
di = 13,33 cm
Увеличение
m = −di/do = −13,33/8 = −1,667
Ответ
m = −1,667
4.Волны, звук и оптика
Ответ: θa = 18,08 °
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Критический угол на оболочке
sin θc = 1,59/1,62 = 0,9815 → θc = 78,96°
Числовая апертура
NA = √(1,62² − 1,59²) = 0,3103
Угол приёма
θa = arcsin(0,3103) = 18,08°
Ответ
θa = 18,08°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics