Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
L = 1,5 m

Длина математического маятника 1,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Пружины и маятникиСложная
3,8 kgk = 500 N/mA = 18 cm

Груз массой 3,8 kg на пружине с k = 500 N/m оттягивают на 18 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,8 kgk = 500 N/mA = 18 cm
E = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
FF3 cmdo​ = 18 cmf = −15 cm

Предмет высотой 3 cm находится в 18 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 15 cm. Найдите высоту изображения hi (отрицательную для перевёрнутого изображения).

ho = 3 cmdo = 18 cmf = −15 cm
hi = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
f1​ = 20 cmf2​ = 8 cm18 cm20 cm

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 20 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 20 cm и линза 2 с f₂ = 8 cm. Предмет находится в 18 cm перед линзой 1. Найдите положение di2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f1 = 20 cmf2 = 8 cms = 20 cmdo = 18 cm
di2 = cm

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,457 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Ответ

T = 2,457 s
2.Пружины и маятники

Ответ: E = 8,1 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(500/3,8) = 11,47 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·500·0,18² = 8,1 J

Ответ

E = 8,1 J
3.Волны, звук и оптика

Ответ: hi = 1,364 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−15) − 1/18
di = −8,182 cm
FF18 cmf = −15 cm

Увеличение и высота

m = −(−8,182)/18 = 0,4545
hi = 0,4545·3 = 1,364 cm

Ответ

hi = 1,364 cm
4.Волны, звук и оптика

Ответ: di2 = 8,333 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/di1 = 1/20 − 1/18 → di1 = −180 cm

Предмет для линзы 2

do2 = 20 − (−180) = 200 cm

Итоговое изображение

1/di2 = 1/8 − 1/200 → di2 = 8,333 cm

Ответ

di2 = 8,333 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics