Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,9 m имеет период малых колебаний 3,09 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.
L = 0,9 mT = 3,09 s
g = m/s²
2.Пружины и маятникиСложная
Груз на пружине с k = 370 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 11 cm от положения равновесия.
k = 370 N/mA = 13 cmx = 11 cm
U = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Струна, закреплённая с обоих концов имеет длину 1,2 m; волны бегут по ней со скоростью 200 m/s. Найдите частоту f1 для режима: основной тон (первая гармоника).
v = 200 m/sn = 1L = 1,2 m
f1 = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 589 nm падает под прямым углом на решётку с 200 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ3 максимума порядка 3.
N = 200 mm⁻¹λ = 589 nmm = 3
θ3 = °
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: g = 3,721 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Находим g
g = 4π²·L/T² = 4π²·0,9/3,09² = 3,721 m/s²
Ответ
g = 3,721 m/s²
2.Пружины и маятники
Ответ: U = 2,239 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Полная энергия
E = ½·k·A² = ½·370·0,13² = 3,127 J
Энергия пружины в точке x
U = ½·k·x² = ½·370·0,11² = 2,239 J
Ответ
U = 2,239 J
3.Волны, звук и оптика
Ответ: f1 = 83,33 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Длина волны этого режима
λ = 2L/n = 2·1,2/1 = 2,4 m
Частота
f = v/λ = 200/2,4 = 83,33 Hz
Ответ
f1 = 83,33 Hz
4.Волны, звук и оптика
Ответ: θ3 = 20,7 °
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между штрихами
d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m
Уравнение решётки
sin θ = mλ/d = 3·589 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,3534
θ = 20,7°
Ответ
θ3 = 20,7°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics