Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,6 m имеет период малых колебаний 2,53 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.
L = 0,6 mT = 2,53 s
g = m/s²
2.Пружины и маятникиСложная
Груз на пружине с k = 390 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 10 cm от положения равновесия.
k = 390 N/mA = 11 cmx = 10 cm
U = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «этанол» (n = 1,36) при любом угле падения больше 30°. Найдите показатель преломления n1 блока.
θc = 30°n2 = 1,36
n1 =
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 550 nm падает на две щели на расстоянии 0,1 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,2 m. Найдите расстояние y3 от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 3.
λ = 550 nmd = 0,1 mmL = 1,2 mm = 3
y3 = mm
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: g = 3,701 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Находим g
g = 4π²·L/T² = 4π²·0,6/2,53² = 3,701 m/s²
Ответ
g = 3,701 m/s²
2.Пружины и маятники
Ответ: U = 1,95 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Полная энергия
E = ½·k·A² = ½·390·0,11² = 2,36 J
Энергия пружины в точке x
U = ½·k·x² = ½·390·0,1² = 1,95 J
Ответ
U = 1,95 J
3.Волны, звук и оптика
Ответ: n1 = 2,72
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Показатель преломления блока
n₁ = n₂/sin θc = 1,36/0,5 = 2,72
Ответ
n1 = 2,72
4.Волны, звук и оптика
Ответ: y3 = 19,8 mm
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между полосами
Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1,2/(0,1 × 10⁻³) = 6,6 mm
Полоса номер 3
y3 = 3·6,6 = 19,8 mm
Ответ
y3 = 19,8 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics