Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
3,6 kgk = 130 N/mA = 17 cmx = 3 cm

Груз массой 3,6 kg на пружине с k = 130 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 17 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 3,6 kgk = 130 N/mA = 17 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
mk = 220 N/mA = 8 cmx = 1 cm

Груз на пружине с k = 220 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 220 N/mA = 8 cmx = 1 cm
K = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
FFdo​ = 6 cmf = 10 cm

Предмет находится в 6 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 cm. Найдите расстояние до изображения di. Используйте правило знаков 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 для рассеивающей линзы, di < 0 для мнимого изображения).

do = 6 cmf = 10 cm
di = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
θn1​ = 1,62n2​ = 1,59n0​ = 1,00

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,62 и оболочка с n₂ = 1,59. Найдите его числовую апертуру NA.

n1 = 1,62n2 = 1,59
NA =

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,006 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(130/3,6) = 6,009 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 6,009·√(0,17² − 0,03²) = 1,006 m/s

Ответ

v = 1,006 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,693 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·220·0,08² = 0,704 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·220·0,01² = 0,011 J

Кинетическая энергия

K = 0,704 − 0,011 = 0,693 J

Ответ

K = 0,693 J
3.Волны, звук и оптика

Ответ: di = −15 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/6
di = −15 cm
FF6 cmf = 10 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

di = −15 cm
4.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,3103

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,59/1,62 = 0,9815 → θc = 78,96°

Числовая апертура

NA = √(1,62² − 1,59²) = 0,3103

Ответ

NA = 0,3103

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics