Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
3,1 kgk = 230 N/mA = 15 cmx = 4 cm

Груз массой 3,1 kg на пружине с k = 230 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 15 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 4 cm от положения равновесия.

m = 3,1 kgk = 230 N/mA = 15 cmx = 4 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
1,1 kgk = 490 N/m

Груз массой 1,1 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 490 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение xmax пружины в cm.

m = 1,1 kgk = 490 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
θc = ?90°алмаз, n1​ = 2,42воздух, n2​ = 1,00

Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θc, за пределом которого происходит полное отражение.

n1 = 2,42n2 = 1,00
θc = °
4.Волны, звук и оптикаСложная
SO25 m/sf = 20 kHz

Неподвижный датчик посылает ультразвук 20 kHz на автомобиль, удаляющийся со скоростью 25 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений fb (скорость звука 343 m/s).

f = 20 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,245 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(230/3,1) = 8,614 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 8,614·√(0,15² − 0,04²) = 1,245 m/s

Ответ

v = 1,245 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: xmax = 4,404 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,1·9,81/490 = 0,02202 m = A

Нижняя точка

xmax = 2A = 0,04404 m = 4,404 cm

Ответ

xmax = 4,404 cm
3.Волны, звук и оптика

Ответ: θc = 24,41 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/2,42 = 0,4132

Критический угол

θc = arcsin(0,4132) = 24,41°

Ответ

θc = 24,41°
4.Волны, звук и оптика

Ответ: fb = 2717 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 20000·(343 − 25)/343 = 18542 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 + 25) = 17283 Hz

Частота биений

fb = |f″ − f| = 2717 Hz

Ответ

fb = 2717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics