Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
L = 1,5 mT = 1,55 s

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,5 m имеет период малых колебаний 1,55 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,5 mT = 1,55 s
g = m/s²
2.Пружины и маятникиСложная
1,9 kgk = 130 N/mA = 10 cm

Груз массой 1,9 kg на пружине с k = 130 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость vmax.

m = 1,9 kgk = 130 N/mA = 10 cm
vmax = m/s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
θc = ?90°крон, n1​ = 1,50воздух, n2​ = 1,00

Свет идёт в среде «крон» (n = 1,50) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θc, за пределом которого происходит полное отражение.

n1 = 1,50n2 = 1,00
θc = °
4.Волны, звук и оптикаСложная
θa​ = ?n1​ = 1,52n2​ = 1,51n0​ = 1,00

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,52 и оболочка с n₂ = 1,51. Найдите наибольший угол θa к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n1 = 1,52n2 = 1,51n0 = 1,00
θa = °

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,65 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/1,55² = 24,65 m/s²

Ответ

g = 24,65 m/s²
2.Пружины и маятники

Ответ: vmax = 0,8272 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(130/1,9) = 8,272 rad/s

Наибольшая скорость

vmax = A·ω = 0,1·8,272 = 0,8272 m/s

Ответ

vmax = 0,8272 m/s
3.Волны, звук и оптика

Ответ: θc = 41,81 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,50 = 0,6667

Критический угол

θc = arcsin(0,6667) = 41,81°

Ответ

θc = 41,81°
4.Волны, звук и оптика

Ответ: θa = 10,02 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,51/1,52 = 0,9934 → θc = 83,42°

Числовая апертура

NA = √(1,52² − 1,51²) = 0,1741

Угол приёма

θa = arcsin(0,1741) = 10,02°

Ответ

θa = 10,02°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics