Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
1,3 kgk = 150 N/mA = 17 cmx = 2 cm

Груз массой 1,3 kg на пружине с k = 150 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 17 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

m = 1,3 kgk = 150 N/mA = 17 cmx = 2 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
3,8 kgk = 440 N/mA = 6 cm

Груз массой 3,8 kg на пружине с k = 440 N/m оттягивают на 6 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость vmax.

m = 3,8 kgk = 440 N/mA = 6 cm
vmax = m/s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
P3 × 60 dB

Одна машина создаёт уровень звука 60 dB в некоторой точке. Найдите уровень β в этой точке, когда одновременно работают 3 одинаковых машин (некогерентные источники).

β1 = 60 dBn = 3
β = dB
4.Волны, звук и оптикаСложная
λ = 589 nmθ

Дифракционная решётка имеет 300 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 589 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок mmax светлого максимума, который можно увидеть?

N = 300 mm⁻¹λ = 589 nm
mmax =

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,813 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(150/1,3) = 10,74 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 10,74·√(0,17² − 0,02²) = 1,813 m/s

Ответ

v = 1,813 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: vmax = 0,6456 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(440/3,8) = 10,76 rad/s

Наибольшая скорость

vmax = A·ω = 0,06·10,76 = 0,6456 m/s

Ответ

vmax = 0,6456 m/s
3.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 64,77 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Суммарная интенсивность

I = 3·I₁

Уровень

β = 60 + 10·log₁₀(3) = 64,77 dB

Ответ

β = 64,77 dB
4.Волны, звук и оптика

Ответ: mmax = 5

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/300 mm = 3,333 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 3,333 µm/0,589 µm = 5,659 → mmax = 5

Ответ

mmax = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics