Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Длина математического маятника 0,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.
L = 0,5 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 1,5 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 250 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение xmax пружины в cm.
m = 1,5 kgk = 250 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Предмет находится в 30 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 15 cm. Найдите расстояние до изображения di. Используйте правило знаков 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 для рассеивающей линзы, di < 0 для мнимого изображения).
do = 30 cmf = 15 cm
di = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 60 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 5 cm и линза 2 с f₂ = 15 cm. Предмет находится в 50 cm перед линзой 1. Найдите положение di2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).
f1 = 5 cmf2 = 15 cms = 60 cmdo = 50 cm
di2 = cm
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: T = 1,419 s
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Период маятника
T = 2π·√(0,5/9,81) = 1,419 s
Ответ
T = 1,419 s
2.Пружины и маятники
Ответ: xmax = 11,77 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Положение равновесия и амплитуда
x₀ = m·g/k = 1,5·9,81/250 = 0,05886 m = A
Нижняя точка
xmax = 2A = 0,1177 m = 11,77 cm
Ответ
xmax = 11,77 cm
3.Волны, звук и оптика
Ответ: di = 30 cm
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Формула тонкой линзы
1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/30
di = 30 cm
Ход лучей
действительное, по другую сторону линзы
Ответ
di = 30 cm
4.Волны, звук и оптика
Ответ: di2 = 20,7 cm
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Изображение линзы 1
1/di1 = 1/5 − 1/50 → di1 = 5,556 cm
Предмет для линзы 2
do2 = 60 − 5,556 = 54,44 cm
Итоговое изображение
1/di2 = 1/15 − 1/54,44 → di2 = 20,7 cm
Ответ
di2 = 20,7 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics