Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1 m имеет период малых колебаний 2,11 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.
L = 1 mT = 2,11 s
g = m/s²
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 1,5 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 330 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение xmax пружины в cm.
m = 1,5 kgk = 330 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 5 m от него равен 100 dB. Найдите уровень β2 на расстоянии 40 m, пренебрегая поглощением и отражениями.
β1 = 100 dBr1 = 5 mr2 = 40 m
β2 = dB
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 600 nm падает под прямым углом на решётку с 1200 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ1 максимума порядка 1.
N = 1200 mm⁻¹λ = 600 nmm = 1
θ1 = °
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: g = 8,867 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Находим g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1/2,11² = 8,867 m/s²
Ответ
g = 8,867 m/s²
2.Пружины и маятники
Ответ: xmax = 8,918 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Положение равновесия и амплитуда
x₀ = m·g/k = 1,5·9,81/330 = 0,04459 m = A
Нижняя точка
xmax = 2A = 0,08918 m = 8,918 cm
Ответ
xmax = 8,918 cm
3.Волны, звук и оптика
Ответ: β2 = 81,94 dB
Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).
Отношение интенсивностей
I₂/I₁ = (5/40)² = 0,01563
Новый уровень
β₂ = 100 + 10·log₁₀(0,01563) = 81,94 dB
Ответ
β2 = 81,94 dB
Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.
4.Волны, звук и оптика
Ответ: θ1 = 46,05 °
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между штрихами
d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m
Уравнение решётки
sin θ = mλ/d = 1·600 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,72
θ = 46,05°
Ответ
θ1 = 46,05°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics