Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,9 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.
T = 0,9 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 2,3 kg на пружине с k = 360 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость vmax.
m = 2,3 kgk = 360 N/mA = 10 cm
vmax = m/s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Труба, открытая с обоих концов имеет длину 1 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f1 для режима: основной тон (первая гармоника).
v = 343 m/sn = 1L = 1 m
f1 = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
Решётка с 100 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 3 для спектральной линии под углом 7° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.
N = 100 mm⁻¹θ3 = 7°m = 3
λ = nm
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: L = 0,2013 m
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Выразите длину
L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m
Ответ
L = 0,2013 m
2.Пружины и маятники
Ответ: vmax = 1,251 m/s
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(360/2,3) = 12,51 rad/s
Наибольшая скорость
vmax = A·ω = 0,1·12,51 = 1,251 m/s
Ответ
vmax = 1,251 m/s
3.Волны, звук и оптика
Ответ: f1 = 171,5 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Длина волны этого режима
λ = 2L/n = 2·1/1 = 2 m
Частота
f = v/λ = 343/2 = 171,5 Hz
Ответ
f1 = 171,5 Hz
4.Волны, звук и оптика
Ответ: λ = 406,2 nm
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Длина волны
λ = d·sin θ/m = 1 × 10⁻⁵·sin 7°/3 = 406,2 nm
Ответ
λ = 406,2 nm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics