Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Груз массой 1,4 kg на пружине с k = 80 N/m оттягивают на 5 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,65 s (со знаком).
m = 1,4 kgk = 80 N/mA = 5 cmt = 0,65 s
x = cm
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 2,7 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 380 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение xmax пружины в cm.
m = 2,7 kgk = 380 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Струна, закреплённая с обоих концов имеет длину 0,75 m; волны бегут по ней со скоростью 240 m/s. Найдите частоту f2 для режима: гармоника номер 2.
v = 240 m/sn = 2L = 0,75 m
f2 = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 633 nm падает на две щели на расстоянии 0,2 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,2 m. Найдите расстояние y1 от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 1.
λ = 633 nmd = 0,2 mmL = 1,2 mm = 1
y1 = mm
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: x = 0,999 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(80/1,4) = 7,559 rad/s
ω·t = 7,559·0,65 = 4,914 rad
Перемещение
x = A·cos(ω·t) = 5·cos(4,914) = 0,999 cm
Ответ
x = 0,999 cm
2.Пружины и маятники
Ответ: xmax = 13,94 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Положение равновесия и амплитуда
x₀ = m·g/k = 2,7·9,81/380 = 0,0697 m = A
Нижняя точка
xmax = 2A = 0,1394 m = 13,94 cm
Ответ
xmax = 13,94 cm
3.Волны, звук и оптика
Ответ: f2 = 320 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Длина волны этого режима
λ = 2L/n = 2·0,75/2 = 0,75 m
Частота
f = v/λ = 240/0,75 = 320 Hz
Ответ
f2 = 320 Hz
4.Волны, звук и оптика
Ответ: y1 = 3,798 mm
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между полосами
Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·1,2/(0,2 × 10⁻³) = 3,798 mm
Полоса номер 1
y1 = 1·3,798 = 3,798 mm
Ответ
y1 = 3,798 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics