Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
t (s)x (cm)1,5 s

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 140 N/m оттягивают на 7 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,5 s (со знаком).

m = 1,7 kgk = 140 N/mA = 7 cmt = 1,5 s
x = cm
2.Пружины и маятникиСложная
mk = 370 N/mA = 11 cmx = 5 cm

Груз на пружине с k = 370 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

k = 370 N/mA = 11 cmx = 5 cm
K = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
75 dB?1 m5 m

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 1 m от него равен 75 dB. Найдите уровень β2 на расстоянии 5 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β1 = 75 dBr1 = 1 mr2 = 5 m
β2 = dB
4.Волны, звук и оптикаСложная
θa​ = ?n1​ = 1,5n2​ = 1,42n0​ = 1,00

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,5 и оболочка с n₂ = 1,42. Найдите наибольший угол θa к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n1 = 1,5n2 = 1,42n0 = 1,00
θa = °

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: x = 3,508 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(140/1,7) = 9,075 rad/s
ω·t = 9,075·1,5 = 13,61 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(13,61) = 3,508 cm

Ответ

x = 3,508 cm
2.Пружины и маятники

Ответ: K = 1,776 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·370·0,11² = 2,239 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·370·0,05² = 0,4625 J

Кинетическая энергия

K = 2,239 − 0,4625 = 1,776 J

Ответ

K = 1,776 J
3.Волны, звук и оптика

Ответ: β2 = 61,02 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (1/5)² = 0,04

Новый уровень

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0,04) = 61,02 dB

Ответ

β2 = 61,02 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

4.Волны, звук и оптика

Ответ: θa = 28,9 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,42/1,5 = 0,9467 → θc = 71,2°

Числовая апертура

NA = √(1,5² − 1,42²) = 0,4833

Угол приёма

θa = arcsin(0,4833) = 28,9°

Ответ

θa = 28,9°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics