Оптимизация: лист заданий с ответами

Открытую коробку делают из квадратного листа картона 48 cm × 48 cm, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая края. Найдите вырез x, при котором объём наибольший.

Прямоугольный загон огорожен 72 m забора и разделён на две части дополнительным забором, параллельным сторонам длины x (всего три забора длины x и два длины y). Найдите длину x, при которой общая площадь наибольшая.

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 400 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 32000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €40 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 800 + 14q + 0,1q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

Театр продаёт 2500 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.