Оптимизация: лист заданий с ответами

Открытую коробку делают из прямоугольного листа картона 15 cm × 24 cm, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая края. Найдите наибольший возможный объём V.

Прямоугольный загон огорожен 240 m забора и разделён на две части дополнительным забором, параллельным сторонам длины x (всего три забора длины x и два длины y). Найдите наибольшую общую площадь A, которую можно огородить.

Прямоугольный участок площадью 300 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 400 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 180 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 9100 + 70q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

Театр продаёт 1050 билетов на спектакль по €12 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 25 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 25 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.