Оптимизация: лист заданий с ответами

Открытую коробку делают из квадратного листа картона 24 cm × 24 cm, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая края. Найдите наибольший возможный объём V.

У фермера есть 240 m забора, чтобы огородить прямоугольное поле вдоль прямой реки. Вдоль реки забор не нужен. Найдите наибольшую площадь A, которую можно огородить.

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 4000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

Театр продаёт 2250 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €40 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 800 + 22q + 0,02q² евро. Найдите максимальную прибыль P.