โจทย์ฝึก AP Calculus: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (3x² − 2x + 7)/(5x² + 5x + 2)

f(x) = (3x² − 2x + 7)/(5x² + 5x + 2)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x³·e^0.5x หา f′(0.5)

f(x) = x³·e^0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ + 7.5x² + 18x + 2 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ + 7.5x² + 18x + 2

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 600 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €25 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €10 จงหาความยาว x ของด้านติดถนนที่ทำให้ต้นทุนต่ำสุด

A = 600 m²€25/m€10/m

x = m

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €35 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 5400 + 16q + 0.01q² ยูโร จงหาปริมาณผลิต q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = €35C = 5400 + 16q + 0.01q²

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀² x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀² x·sin x dx

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x² และ y = x

y = x²y = x

A =

9.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 88 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 20 °C หลังผ่านไป 8 min อุณหภูมิเท่ากับ 69 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹

T₀ = 88 °CT_a = 20 °CT(8) = 69 °C

k = min⁻¹

10.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ถังบรรจุน้ำ 400 L ซึ่งมีเกลือละลายอยู่ 20 kg น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.25 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 10 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน ต้องใช้เวลากี่นาที t ในถังจึงมีเกลือ 44 kg

V = 400 Lm₀ = 20 kgc = 0.25 kg/Lr = 10 L/min

t = min

11.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

จงหาผลบวก S = Σ_k=1¹⁷ 4/(k(k + 1))

a_k = 4/(k(k + 1))n = 17

S =

12.ลำดับและอนุกรมยาก

ใช้พหุนามแมคคลอรินดีกรี 5 ของ f(x) = sin x เพื่อประมาณ f(2) ให้ P₅(2)

f(x) = sin xn = 5x = 2

P₅(2) =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.6

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(3 + (−2)/x + 7/x²)/(5 + 5/x + 2/x²)

ให้ x → ∞

L = 3/5 = 0.6

คำตอบ

L = 0.6

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·e^2x/2

แทนค่า x = 0

L = 4·1/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 1.043

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(3x² + 0.5·x³)

แทนค่า

f′(0.5) = 1.284·(0.75 + 0.0625) = 1.043

คำตอบ

f′(0.5) = 1.043

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −3 หรือ x = −2

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x + 15: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −2

คำตอบ

x = −2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 18.52 m

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 35x + 12000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 24000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(12000/35) = 18.52 m

y = 600/18.52 = 32.4 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 35·18.52 + 12000/18.52 = €1296

คำตอบ

x = 18.52 m

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 950 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 35q − (5400 + 16q + 0.01q²) = −0.01q² + 19q − 5400

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.02 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

19 − 0.02q = 0 → q = 950

กำไรสูงสุด

P = 19·950 − 0.01·950² − 5400 = €3625

คำตอบ

q = 950

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.742

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

ปฏิยานุพันธ์

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

ลิมิต

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1.742

คำตอบ

I = 1.742

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.1667

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

x² = x → x = 0, x = 1

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

คำตอบ

A = 0.1667

9.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: k = 0.04096 min⁻¹

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

อัตราส่วนของผลต่างอุณหภูมิ

e^−8k = 49/68

แก้หา k

k = ln(68/49)/8 = 0.04096 min⁻¹

คำตอบ

k = 0.04096 min⁻¹

10.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 14.27 min

ผลลัพธ์

m(t) = 100 + (−80)·e^−t/40

แก้หา t

e^−t/40 = (100 − 44)/(100 − 20) = 0.7

t = 40·ln(1.429) = 14.27 min

คำตอบ

t = 14.27 min

11.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: S = 3.778

เศษส่วนย่อย

4/(k(k + 1)) = 4·(1/k − 1/(k + 1))

ยกเลิก

S = 4·(1 − 1/18) = 3.778

คำตอบ

S = 3.778

12.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: P₅(2) = 0.9333

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

พหุนามแมคคลอริน

P₅(x) = x − 0.1667x³ + 0.008333x⁵

แทนค่า

P₅(2) = 2 − 1.333333 + 0.266667 = 0.9333

คำตอบ

P₅(2) = 0.9333

ค่าที่แท้จริงคือ f(2) = 0.909297; ความคลาดเคลื่อน −0.0240359 ลดลงเมื่อใช้พจน์มากขึ้นหรือจุดที่ใกล้ 0 มากขึ้น

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice