แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² − 7x) − x)

f(x) = √(x² − 7x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(2x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(1.5)

f(x) = x·sin(2x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² − 5x ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² − 5xx = 3

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 300 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €20 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €10 จงหาความยาว x ของด้านติดถนนที่ทำให้ต้นทุนต่ำสุด

A = 300 m²€20/m€10/m

x = m

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 780 ใบต่อรอบ ใบละ €20 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 20 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 20 ใบ) จงหาราคาตั๋ว p ที่ทำให้รายได้สูงสุด

780 × €2020 / €1

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับแกน x

y = 4 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −3.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = −7x/(√(x² − 7x) + x)

หารด้วย x

f(x) = −7/(√(1 + (−7)/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = −7/(1 + 1) = −3.5

คำตอบ

L = −3.5

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.25

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

แทนค่า x = 0

L = 5/4 = 1.25

คำตอบ

L = 1.25

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1.5) = −2.829

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

แทนค่า

f′(1.5) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

คำตอบ

f′(1.5) = −2.829

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −4.5

จุดและความชัน

f(3) = −10.5

f′(x) = x − 5 → f′(3) = −2

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −10.5 − (−2)·3 = −4.5

คำตอบ

b = −4.5

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: x = 14.14 m

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 30x + 6000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 12000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(6000/30) = 14.14 m

y = 300/14.14 = 21.21 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 30·14.14 + 6000/14.14 = €848.5

คำตอบ

x = 14.14 m

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 29.5 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 1180 − 20p

R(p) = 1180p − 20p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −40 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 1180/40 = €29.5

รายได้สูงสุด

n = 1180 − 20·29.5 = 590

R = 29.5·590 = €17405

คำตอบ

p = €29.5

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 12

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

คำตอบ

I = 12

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 10.67

ค่าศูนย์

4 − x² = 0 → x = ±2

อินทิเกรต

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

คำตอบ

A = 10.67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1