แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (4x³ − x − 4)/(2x³ + 6x + 3)

f(x) = (4x³ − x − 4)/(2x³ + 6x + 3)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (4x + 1)⁴ หา f′(2)

f(x) = (4x + 1)⁴x = 2

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 12x − 5 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 12x − 5

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 800 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €40 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €5 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 800 m²€40/m€5/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 70 − 1q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 200 + 30q ยูโร จงหาราคา p ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = 70 − 1qC = 200 + 30q

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

บริเวณใต้ y = √(2x) จาก x = 0 ถึง x = 2 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (พาราโบลอยด์)

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 2

V =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 9 − x² กับแกน x

y = 9 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(4 + (−1)/x² + (−4)/x³)/(2 + 6/x² + 3/x³)

ให้ x → ∞

L = 4/2 = 2

คำตอบ

L = 2

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.6667

ใช้ครั้งแรก

2·sin 2x/(6x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·cos 2x/6

แทนค่า x = 0

L = 4/6 = 0.6667

คำตอบ

L = 0.6667

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 11664

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 4·(4x + 1)³·4

แทนค่า

f′(2) = 4·9³·4 = 11664

คำตอบ

f′(2) = 11664

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −2 หรือ x = 2

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = −2

คำตอบ

x = −2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 1200 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 45x + 8000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 16000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(8000/45) = 13.33 m

y = 800/13.33 = 60 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 45·13.33 + 8000/13.33 = €1200

คำตอบ

C = €1200

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 50 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (70 − 1q)·q − (200 + 30q) = −q² + 40q − 200

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −2 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 40/2 = 20

ราคาและกำไร

p = 70 − 1·20 = €50

P = 40·20 − 1·20² − 200 = €200

คำตอบ

p = €50

7.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 12.57

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀² 2x dx

อินทิเกรต

V = π·2·2²/2 = 12.57

คำตอบ

V = 12.57

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 36

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ค่าศูนย์

9 − x² = 0 → x = ±3

อินทิเกรต

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

คำตอบ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1