แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(4x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(4x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(0.5)

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 7.5x² + 18x + 2 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 7.5x² + 18x + 2

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 4000 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาความสูง h

V = 4000 cm³

h = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 140 − 1q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 200 + 100q ยูโร จงหากำไรสูงสุดต่อสัปดาห์ P

p = 140 − 1qC = 200 + 100q

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 3x กับพาราโบลา y = x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 3xy = x²

V =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.04979

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·(−1) = −3

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁻³ = 0.04979

คำตอบ

L = 0.04979

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.5

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[4·cos 4x]

แทนค่า x = 0

L = 2/4 = 0.5

คำตอบ

L = 0.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 0.9182

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

แทนค่า

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

คำตอบ

f′(0.5) = 0.9182

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 3

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 2 หรือ x = 3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 15: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 3

คำตอบ

x = 3

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: h = 10 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 16000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 8000 → x = 20 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

คำตอบ

h = 10 cm

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 200 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (140 − 1q)·q − (200 + 100q) = −q² + 40q − 200

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −2 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 40/2 = 20

ราคาและกำไร

p = 140 − 1·20 = €120

P = 40·20 − 1·20² − 200 = €200

คำตอบ

P = €200

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 12

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

คำตอบ

I = 12

8.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 101.8

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

3x = 1x² → x = 0, x = 3

วิธีวงแหวน

V = π∫₀³ ((3x)² − (1x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32.4 = 101.8

คำตอบ

V = 101.8

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1