แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x ตอบเป็นค่าทศนิยม

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (3x − 1)⁵ หา f′(−1)

f(x) = (3x − 1)⁵x = −1

f′(−1) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² + 5x + 3 ที่ x = −2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² + 5x + 3x = −2

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กล่องเปิด (ไม่มีฝา) ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องจุ 108000 cm³ ใช้วัสดุให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ คือพื้นที่ของฐานรวมกับด้านข้างทั้งสี่ให้น้อยที่สุด จงหาความสูง h

V = 108000 cm³

h = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 90 − 0.1q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 3200 + 25q ยูโร จงหาปริมาณผลิตต่อสัปดาห์ q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = 90 − 0.1qC = 3200 + 25q

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀¹ x²·eˣ dx

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 403.4

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หาลอการิทึม

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

คำนวณค่า

ln(1 + u)/u → 1 เมื่อ u → 0 ดังนั้น x·ln(1 + a/x) → a

ln L = 3·2 = 6

ย้อนกลับลอการิทึม

L = e⁶ = 403.4

คำตอบ

L = 403.4

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

2·sin 2x/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·cos 2x/2

แทนค่า x = 0

L = 4/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−1) = 3840

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 5·(3x − 1)⁴·3

แทนค่า

f′(−1) = 5·(−4)⁴·3 = 3840

คำตอบ

f′(−1) = 3840

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = 1

จุดและความชัน

f(−2) = −5

f′(x) = x + 5 → f′(−2) = 3

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 3·(−2) = 1

คำตอบ

b = 1

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: h = 30 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ x

S(x) = x² + 432000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x³ = 216000 → x = 60 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

คำตอบ

h = 30 cm

กล่องเปิดที่ดีที่สุดมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้าง

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 325 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (90 − 0.1q)·q − (3200 + 25q) = −0.1q² + 65q − 3200

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.2 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 65/0.2 = 325

ราคาและกำไร

p = 90 − 0.1·325 = €57.5

P = 65·325 − 0.1·325² − 3200 = €7363

คำตอบ

q = 325

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 156

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

คำตอบ

I = 156

8.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.7183

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

คำตอบ

I = 0.7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1