แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

จงหาลิมิต L = lim_x→∞ (√(x² + 2x) − x)

f(x) = √(x² + 2x) − xx → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·e^x หา f′(1)

f(x) = x·e^xx = 1

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x² − 4x − 2 ที่ x = −1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 0.5x² − 4x − 2x = −1

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 450 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €25 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €12 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 450 m²€25/m€12/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €25 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 100 + 14q + 0.05q² ยูโร จงหากำไรสูงสุด P

p = €25C = 100 + 14q + 0.05q²

P = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับแกน x

y = 4 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 1

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

คูณด้วยสังยุค

f(x) = 2x/(√(x² + 2x) + x)

หารด้วย x

f(x) = 2/(√(1 + 2/x) + 1)

ให้ x → ∞

L = 2/(1 + 1) = 1

คำตอบ

L = 1

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.3333

กฎของโลปีตาล

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

แทนค่า x = 0

L = 1/3 = 0.3333

คำตอบ

L = 0.3333

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 5.437

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

แทนค่า

f′(1) = 2.718·(1 + 1) = 5.437

คำตอบ

f′(1) = 5.437

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −2.5

จุดและความชัน

f(−1) = 2.5

f′(x) = x − 4 → f′(−1) = −5

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2.5 − (−5)·(−1) = −2.5

คำตอบ

b = −2.5

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 1264 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 37x + 10800/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 21600/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(10800/37) = 17.08 m

y = 450/17.08 = 26.34 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 37·17.08 + 10800/17.08 = €1264

คำตอบ

C = €1264

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: P = 505 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 25q − (100 + 14q + 0.05q²) = −0.05q² + 11q − 100

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.1 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

11 − 0.1q = 0 → q = 110

กำไรสูงสุด

P = 11·110 − 0.05·110² − 100 = €505

คำตอบ

P = €505

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.5

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

คำตอบ

I = 1.5

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 10.67

ค่าศูนย์

4 − x² = 0 → x = ±2

อินทิเกรต

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

คำตอบ

A = 10.67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1