แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (x³ + 6x − 4)/(3x³ + x + 2)

f(x) = (x³ + 6x − 4)/(3x³ + x + 2)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x²·e^x หา f′(2)

f(x) = x²·e^xx = 2

f′(2) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 400 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหารัศมี r ที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด

V = 400 cm³

r = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

ธุรกิจขนาดเล็กขายสินค้าในราคาตลาดคงที่ €60 ต่อหน่วย การผลิต q หน่วยมีต้นทุน C(q) = 9700 + 16q + 0.02q² ยูโร จงหาปริมาณผลิต q ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = €60C = 9700 + 16q + 0.02q²

q = หน่วย

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂⁸ 3/x dx

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

8.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = x กับพาราโบลา y = 0.5x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = xy = 0.5x²

V =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 0.3333

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(1 + 6/x² + (−4)/x³)/(3 + 1/x² + 2/x³)

ให้ x → ∞

L = 1/3 = 0.3333

คำตอบ

L = 0.3333

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 4.5

ใช้ครั้งแรก

3·sin 3x/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

9·cos 3x/2

แทนค่า x = 0

L = 9/2 = 4.5

คำตอบ

L = 4.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 59.11

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

แทนค่า

f′(2) = 7.389·(4 + 4) = 59.11

คำตอบ

f′(2) = 59.11

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 1

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 1 หรือ x = 3

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 12: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 1

คำตอบ

x = 1

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: r = 3.993 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm

A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

คำตอบ

r = 3.993 cm

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: q = 1100 หน่วย

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = 60q − (9700 + 16q + 0.02q²) = −0.02q² + 44q − 9700

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −0.04 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

44 − 0.04q = 0 → q = 1100

กำไรสูงสุด

P = 44·1100 − 0.02·1100² − 9700 = €14500

คำตอบ

q = 1100

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 4.159

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 3·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4.159

คำตอบ

I = 4.159

8.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 3.351

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

1x = 0.5x² → x = 0, x = 2

วิธีวงแหวน

V = π∫₀² ((1x)² − (0.5x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(1·2³/3 − 0.25·2⁵/5) = π·1.067 = 3.351

คำตอบ

V = 3.351

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1