แคลคูลัส 2: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

แคลคูลัสหลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

วิธีการ

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ e^x dx

f(x) = e^x[0, 1]

I =

2.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x² และ y = 4x

y = 0.5x²y = 4x

A =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่เข้า ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ 1/(4k + 7)B: Σ (k + 5)/k²C: Σ 3ᵏ/k!D: Σ 3ᵏ/k³

1A: Σ 1/(4k + 7)
2B: Σ (k + 5)/k²
3C: Σ 3ᵏ/k!
4D: Σ 3ᵏ/k³

4.ลำดับและอนุกรมยาก

f(x) = sin x ถูกประมาณที่ x = 0.5 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี n ด้วยขอบเขตของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! และ M = 1 จงหาดีกรีที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 0.0001

f(x) = sin xx = 0.5M = 1ε = 0.0001

n =

5.แคลคูลัสหลายตัวแปรปานกลาง

z = 2xy + 5x³ + y² โดย x = 2t − 1 และ y = t² + 1 ใช้กฎลูกโซ่เพื่อหา dz/dt ที่ t = 0

z = 2xy + 5x³ + y²x = 2t − 1y = t² + 1t = 0

dz/dt =

6.แคลคูลัสหลายตัวแปรยาก

อินทิกรัล I = ∫₀^0.8 ∫_y^0.8 e^x² dx dy ทำในลำดับนี้ไม่ได้ ให้สลับลำดับการอินทิเกรตแล้วคำนวณ

f = e^x²0 ≤ y ≤ x ≤ 0.8

I =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 94 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 19 °C หลังผ่านไป 11 min อุณหภูมิเท่ากับ 58 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 40 °C

T₀ = 94 °CT_a = 19 °CT(11) = 58 °CT = 40 °C

t = min

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + y′ + 4.25y = 21.25 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหา y(0.5) มุมเป็นเรเดียน

y″ + y′ + 4.25y = 21.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3สารละลาย

1.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.718

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^x/1

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e¹ − 1)/1 = (2.718 − 1)/1 = 1.718

คำตอบ

I = 1.718

2.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 42.67

จุดตัด

0.5x² = 4x → x = 0, x = 8

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [2x² − 0.1667x³]₀⁸ = 42.67

คำตอบ

A = 42.67

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: C: Σ 3ᵏ/k!

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ 1/(4k + 7) → มีพฤติกรรมเหมือน 1/(4k) สำหรับ k ขนาดใหญ่ เมื่อเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิกจะลู่ออก

B: Σ (k + 5)/k² → มีพฤติกรรมเหมือน 1/k สำหรับ k ขนาดใหญ่: ลู่ออกโดยการเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิก

C: Σ 3ᵏ/k! → การทดสอบอัตราส่วน: L = lim 3/(k + 1) = 0 < 1 ลู่เข้า

D: Σ 3ᵏ/k³ → การทดสอบอัตราส่วน: L = 3 > 1 ลู่ออก

คำตอบ

C: Σ 3ᵏ/k!

คำตอบ

C: Σ 3ᵏ/k!

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: n = 5

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

ขอบเขตสำหรับ n ที่เพิ่มขึ้น

n = 4: 0.0002604 ≥ 0.0001

n = 5: 2.17 × 10⁻⁵ < 0.0001

ดีกรีที่น้อยที่สุด

n = 5

คำตอบ

n = 5

5.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: dz/dt = 34

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

จุดและอัตราการเปลี่ยนแปลง

x(0) = −1, y(0) = 1

dx/dt = 2, dy/dt = 2t = 0

อนุพันธ์ย่อย

f_x = 2y + 15x² = 17

f_y = 2x + 2y = 0

กฎลูกโซ่

dz/dt = 17·2 + 0·0 = 34

คำตอบ

dz/dt = 34

6.แคลคูลัสหลายตัวแปร

คำตอบ: I = 0.4482

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

บริเวณ

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 0.8

ลำดับที่สลับ

I = ∫₀^0.8 ∫₀^x e^x² dy dx = ∫₀^0.8 x·e^x² dx

การแทนค่า u = x²

I = [e^x²/2]₀^0.8 = 0.4482

คำตอบ

I = 0.4482

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 21.41 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(75/39)/11 = 0.05945 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(75/21)/0.05945 = 21.41 min

คำตอบ

t = 21.41 min

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 2.077

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 5, r = −0.5 ± 2j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0.5A + 2B = 0 → B = −1.25

คำนวณค่า

y(0.5) = 5·(1 − e^−0.25(cos 1 + 0.25·sin 1)) = 2.077

คำตอบ

y(0.5) = 2.077

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2