แคลคูลัส 2: แบบฝึกหัดและข้อสอบเก่า

วิชาแคลคูลัสวิชาที่สอง: เทคนิคการอินทิเกรต ลำดับและอนุกรมพร้อมการทดสอบการลู่เข้า อนุกรมกำลังและพหุนามเทย์เลอร์ และแคลคูลัสหลายตัวแปรพร้อมอนุพันธ์ย่อย เกรเดียนต์ จุดวิกฤต และอินทิกรัลสองชั้น ขึ้นกับหลักสูตร เนื้อหาบางส่วนนี้สอนเป็นแคลคูลัส 3

ฝึกรายวิชานี้ฟรีฝึกรายวิชานี้ทำข้อสอบจำลองโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

ชุดสรุปเร่งรัด (PDF)สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำ และโจทย์ฝึกพร้อมเฉลยละเอียด พร้อมพิมพ์

หัวข้อในรายวิชานี้

  1. อินทิกรัลพหุนาม · เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการแทนค่า · พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งโจทย์คำนวณ
  2. ลำดับและอนุกรมอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต · การลู่เข้าและอนุกรมกำลัง · พหุนามเทย์เลอร์และแมคคลอรินโจทย์คำนวณ
  3. แคลคูลัสหลายตัวแปรอนุพันธ์ย่อยและอินทิกรัลสองชั้น · เกรเดียนต์ ระนาบสัมผัส และกฎลูกโซ่ · จุดวิกฤตและอินทิกรัลบนบริเวณโจทย์คำนวณ
  4. สมการเชิงอนุพันธ์การเติบโตและการสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล · กฎการเย็นตัวของนิวตัน · สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งโจทย์คำนวณ

เทคนิคทำข้อสอบวิชา แคลคูลัส 2

  • ก่อนการทดสอบการลู่เข้าใด ๆ ให้ตรวจว่าพจน์ลู่เข้าสู่ 0 ถ้าไม่ อนุกรมลู่ออก
  • เขียนพหุนามเทย์เลอร์พร้อมแฟกทอเรียลให้ครบก่อนแทนตัวเลข
  • สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณก่อน: ภาพร่างให้ขอบเขตของอินทิกรัลชั้นใน

ตัวอย่างวิธีทำ

อินทิกรัลง่าย
xy3y = 0.5x

บริเวณใต้ y = 0.5x จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

จงหา V

แสดงคำใบ้
  1. ชิ้นที่ x เป็นจานรัศมี y = 0.5x
  2. V = π∫₀3 (0.5x)² dx.
  3. = π·0.25·x³/3.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀3 0.25x² dx

อินทิเกรต

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

คำตอบ

V = 7.069

ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 1.5 และสูง 3 มี (1/3)πr²h = 7.069

ลำดับและอนุกรมปานกลาง
kSn​12345678910S = ?

จงหาผลบวก S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3))

ak = 12/(k(k + 3))

จงหา S

แสดงคำใบ้
  1. เศษส่วนย่อย: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))
  2. เขียนสองสามพจน์แรกออกมา: ส่วนใหญ่ตัดกันหมด (ผลบวกแบบเทเลสโคปิก)
  3. สิ่งที่เหลืออยู่คือ (12/3)·(1 + … + 1/3)
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การลู่เข้า: ถ้าพจน์ไม่ลู่เข้าสู่ 0 อนุกรมจะลู่ออก (การทดสอบพจน์ที่ n) Σ1/kᵖ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ p > 1 และ Σrᵏ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ |r| < 1 ให้เปรียบเทียบอนุกรมกับหนึ่งในนี้เมื่อพจน์ของมันมีพฤติกรรมเหมือนกันสำหรับ k ขนาดใหญ่ การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |ak+1/ak|; การทดสอบราก: L = lim |ak|1/k L < 1 ลู่เข้า L > 1 ลู่ออก L = 1 ตัดสินไม่ได้ อนุกรมกำลัง Σck(x − x₀)ᵏ ลู่เข้าสำหรับ |x − x₀| < R โดย R = lim |ck/ck+1|; อนุกรมสลับที่พจน์ลดลงสู่ 0 ลู่เข้า

เศษส่วนย่อย

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

ยกเลิก

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

คำตอบ

S = 7.333

การฝึกทำงานอย่างไร

  • “ฝึกรายวิชานี้” ผสมโจทย์จากทุกหัวข้อของวิชา เหมือนข้อสอบจริง
  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ข้อสอบจำลองจับเวลาและไม่มีคำใบ้ และคุณจะได้คะแนนและการทบทวนฉบับเต็มเมื่อจบ

เครื่องคำนวณสำหรับรายวิชานี้

เครื่องคำนวณครึ่งชีวิตและการสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียลเครื่องคำนวณอินทิกรัล (จำกัดเขตและไม่จำกัดเขต)

รายวิชาที่เกี่ยวข้อง

คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2โจทย์ฝึก AP Calculusคณิตศาสตร์วิศวกรรมสมการเชิงอนุพันธ์วิธีเชิงตัวเลขแคลคูลัส 1สถิติเบื้องต้นสถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติ
ฝึกรายวิชานี้ฟรีฝึกรายวิชานี้ทำข้อสอบจำลองโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร