แคลคูลัสหลายตัวแปร: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: แคลคูลัสหลายตัวแปร คืออะไร

ฟังก์ชันสองตัวแปร z = f(x, y) คือพื้นผิวเหนือระนาบ xy บนแผนที่วาดด้วยเส้นระดับ คือเส้นที่ f มีค่าเท่ากัน ตัวอย่าง: f(x, y) = x²y + 3y² ถือ y เป็นตัวเลขสำหรับ fx และถือ x เป็นตัวเลขสำหรับ fy:

Q: แบบฝึกหัด แคลคูลัสหลายตัวแปร ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: อนุพันธ์ย่อยและอินทิกรัลสองชั้น ปานกลาง: เกรเดียนต์ ระนาบสัมผัส และกฎลูกโซ่ ยาก: จุดวิกฤตและอินทิกรัลบนบริเวณ โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด แคลคูลัสหลายตัวแปร ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: อนุพันธ์ย่อยและอินทิกรัลสองชั้น, เกรเดียนต์ ระนาบสัมผัส และกฎลูกโซ่, จุดวิกฤตและอินทิกรัลบนบริเวณ

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

สำหรับ f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy จงหาอนุพันธ์ย่อย ∂f/∂x ที่จุด (3, −3)

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)

โจทย์ถัดไป →

ฝึก แคลคูลัสหลายตัวแปร ฟรี ฝึก แคลคูลัสหลายตัวแปร เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายอนุพันธ์ย่อยและอินทิกรัลสองชั้น
ปานกลางเกรเดียนต์ ระนาบสัมผัส และกฎลูกโซ่
ยากจุดวิกฤตและอินทิกรัลบนบริเวณ

วิธีแก้โจทย์แคลคูลัสหลายตัวแปร

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

หาอนุพันธ์ของตัวแปรที่ควรถือเป็นค่าคงที่
ลืมทำให้เวกเตอร์ทิศทางเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
เขียน D = f_xx·f_yy + f_xy² หรือเรียกจุดที่ D < 0 ว่าจุดสุดขีด
ใช้ขอบเขตชั้นในคงที่สำหรับบริเวณที่ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง
ละตัวประกอบ r ใน dA = r dr dθ

สูตรสำคัญ

อนุพันธ์ย่อย: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
อนุพันธ์ตามทิศทาง: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
ระนาบสัมผัส: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
อินทิกรัลสองชั้น: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
พิกัดเชิงขั้ว: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

เรียนรู้ แคลคูลัสหลายตัวแปร ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: อนุพันธ์, อินทิกรัล

1อนุพันธ์ย่อย

ฟังก์ชันสองตัวแปร z = f(x, y) คือพื้นผิวเหนือระนาบ xy บนแผนที่วาดด้วยเส้นระดับ คือเส้นที่ f มีค่าเท่ากัน

อนุพันธ์ย่อยวัดความชันในทิศทางหนึ่ง สำหรับ ∂f/∂x (เขียนเป็น f_x ก็ได้) ให้ถือ y คงที่และหาอนุพันธ์เทียบกับ x โดยใช้กฎทั่วไป

ตัวอย่าง: f(x, y) = x²y + 3y² ถือ y เป็นตัวเลขสำหรับ f_x และถือ x เป็นตัวเลขสำหรับ f_y:

f_x = 2xy f_y = x² + 6y

ที่ (1, 2) ได้ f_x = 4 และ f_y = 1 + 12 = 13

การหาอนุพันธ์อีกครั้งให้อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง f_xx, f_yy และ f_xy ลำดับของอนุพันธ์แบบผสมไม่มีผล: f_xy = f_yx ในที่นี้ f_xy = 2x

ตรวจสอบตนเอง ∂f/∂y ของ f(x, y) = x³y² คืออะไร

2x³y
3x²y²
6x²y
x³y²

คำตอบ: 2x³y. ถือ x คงที่: x³ เป็นตัวประกอบคงที่ และ y² ให้ 2y ดังนั้น f_y = 2x³y ส่วน 3x²y² คือ ∂f/∂x

2เกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศทาง

เกรเดียนต์รวมอนุพันธ์ย่อยทั้งสอง: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ f เพิ่มเร็วที่สุด ตั้งฉากกับเส้นระดับ

ความชันสูงสุดคือความยาว |∇f| = √(f_x² + f_y²)

ความชันในทิศทางอื่น v ใด ๆ คืออนุพันธ์ตามทิศทาง ก่อนอื่นทำให้ v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| แล้วหาผลคูณจุด:

D_uf = ∇f·u

สำหรับ f = x²y + 3y² ที่ (1, 2): ∇f = (4, 13) ในทิศทาง v = (3, 4), u = (0.6, 0.8) ดังนั้น D_uf = 4·0.6 + 13·0.8 = 12.8

ตรวจสอบตนเอง ที่จุดหนึ่ง ∇f = (3, 4) อัตราการเพิ่มของ f ที่มากที่สุดที่นั่นคือเท่าใด

คำตอบ: 5. คือ |∇f| = √(3² + 4²) = 5 การบวกส่วนประกอบได้ 7 และการลืมรากที่สองได้ 25

3ระนาบสัมผัสและกฎลูกโซ่

ใกล้จุด (a, b) พื้นผิวเกือบแบน ระนาบสัมผัสคือ

z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)

ระนาบนี้ให้การประมาณเชิงเส้น f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + f_xΔx + f_yΔy

ตัวอย่าง: f = x²y + 3y² มี f(1, 2) = 14 ดังนั้นใกล้ (1, 2): f(1.1, 1.9) ≈ 14 + 4·0.1 + 13·(−0.1) = 13.1 ค่าที่แท้จริงคือ 13.129

เมื่อ x และ y ทั้งคู่ขึ้นกับ t กฎลูกโซ่บวกสองเส้นทาง: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

4จุดวิกฤต

ที่ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด หรือจุดอานม้า พื้นผิวแบน: f_x = 0 และ f_y = 0 จุดเหล่านี้คือจุดวิกฤต

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ D = f_xxf_yy − f_xy² ที่จุดนั้น:

D > 0 และ f_xx > 0: ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
D > 0 และ f_xx < 0: ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
D < 0: จุดอานม้า ขึ้นในทิศทางหนึ่งและลงในอีกทิศทางหนึ่ง
D = 0: การทดสอบตัดสินไม่ได้

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหาและจัดประเภทจุดวิกฤตของ f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y

ตั้งอนุพันธ์ย่อยทั้งสองเป็นศูนย์

f_x = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 f_y = 2y − 4 = 0 → y = 2

จุดวิกฤตคือ (1, 2) และ (−1, 2)

อนุพันธ์อันดับสอง

f_xx = 6x, f_yy = 2, f_xy = 0

ทดสอบ (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 และ f_xx = 6 > 0: ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ โดย f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6

ทดสอบ (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: จุดอานม้า

คำตอบ

ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ (1, 2) โดย f = −6; จุดอานม้าที่ (−1, 2)

5อินทิกรัลสองชั้น

อินทิกรัลสองชั้น ∬_R f dA รวม f บนบริเวณ R; สำหรับ f = 1 คือพื้นที่ของ R คำนวณเป็นอินทิกรัลเดี่ยวสองครั้ง โดยทำชั้นในก่อน

บนสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขอบเขตเป็นตัวเลข: ∫₀²∫₀¹ (x + 2y) dy dx อินทิกรัลชั้นในให้ x + 1 และ ∫₀² (x + 1) dx = 4

บนบริเวณทั่วไป ขอบเขตชั้นในคือเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับบริเวณระหว่าง y = x² และ y = 2x, y ไปจาก x² ถึง 2x และ x ไปจาก 0 ถึง 2

พื้นที่ = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

สำหรับจานวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว: x² + y² = r² และ dA = r dr dθ บนจาน r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫₀^2π∫₀² r³ dr dθ = 2π·4 = 8π

ตรวจสอบตนเอง ในพิกัดเชิงขั้ว dA กลายเป็นอะไร

dr dθ
r dr dθ
r² dr dθ
θ dr dθ

คำตอบ: r dr dθ. ชิ้นเชิงขั้วเล็ก ๆ กว้าง Δr และยาว r·Δθ ดังนั้น dA = r dr dθ การลืมตัวประกอบ r คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและคำถามในข้อสอบ

หาอนุพันธ์ของตัวแปร “คงที่” ด้วยในอนุพันธ์ย่อย
ใช้ v แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u ในอนุพันธ์ตามทิศทาง
เขียน D = f_xxf_yy + f_xy² หรือจัดจุดที่มี D < 0 เป็นจุดสุดขีด
ใช้ตัวเลขเป็นขอบเขตชั้นในเมื่อบริเวณถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง
ลืมตัวประกอบ r ในพิกัดเชิงขั้ว

ง่าย: อนุพันธ์ย่อยที่จุดหนึ่งและอินทิกรัลบนสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปานกลาง: เกรเดียนต์ อนุพันธ์ตามทิศทาง ระนาบสัมผัส และกฎลูกโซ่ ยาก: การจัดประเภทจุดวิกฤตและอินทิกรัลบนบริเวณโค้ง ในพิกัดเชิงขั้วหรือสลับลำดับ

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

สำหรับ f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy จงหาอนุพันธ์ย่อย ∂f/∂x ที่จุด (−1, −3)

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

จงหา f_x(−1, −3)

แสดงคำใบ้

ถือ y เป็นค่าคงที่และหาอนุพันธ์เทียบกับ x
∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
แทน x = −1 และ y = −3

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

อนุพันธ์ย่อย: ∂f/∂x คืออนุพันธ์ธรรมดาเทียบกับ x ขณะที่ y คงที่ (ถือว่า y เป็นตัวเลข) และ ∂f/∂y คือกลับกัน กฎต่าง ๆ (กำลัง ผลคูณ ลูกโซ่) เหมือนกับตัวแปรเดียว อนุพันธ์อันดับสองแบบผสมให้ผลเหมือนกันไม่ว่าลำดับใด: f_xy = f_yx อินทิกรัลสองชั้นบนสี่เหลี่ยมผืนผ้าคำนวณเป็นอินทิกรัลเดี่ยวสองครั้ง โดยทำชั้นในก่อน: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx

หาอนุพันธ์

y ถูกถือเป็นค่าคงที่

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

แทนค่า

f_x(−1, −3) = −4

คำตอบ

f_x(−1, −3) = −4

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

z = 2x²e^3y โดย x = −t − 2 และ y = t² + 2 ใช้กฎลูกโซ่เพื่อหา dz/dt ที่ t = 0

z = 2x²e^3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

จงหา dz/dt

แสดงคำใบ้

dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
ที่ t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0
f_x = 4xe^3y, f_y = 6x²e^3y

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เกรเดียนต์: ∇f = (f_x, f_y) ชี้ไปในทิศที่ชันที่สุดขึ้น และ |∇f| คืออัตราการเปลี่ยนแปลงที่มากที่สุด อนุพันธ์ตามทิศทาง v คือ D_uf = ∇f·u โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u = v/|v| ระนาบสัมผัสที่ (a, b) คือ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ซึ่งให้การประมาณเชิงเส้นของ f ใกล้จุดนั้น กฎลูกโซ่: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

จุดและอัตราการเปลี่ยนแปลง

x(0) = −2, y(0) = 2

dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

อนุพันธ์ย่อย

f_x = 4xe^3y = −3227

f_y = 6x²e^3y = 9682

กฎลูกโซ่

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

คำตอบ

dz/dt = 3227

ตัวอย่างที่ 3ยาก

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy มีจุดวิกฤตที่ (1, 1) จงคำนวณตัวจำแนก D = f_xxf_yy − f_xy² ที่นั่น

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

จงหา D

แสดงคำใบ้

หาอนุพันธ์อันดับสองสามตัว f_xx, f_yy และ f_xy
ที่จุดนั้น: f_xx = 6, f_yy = 6, f_xy = −3
D = f_xxf_yy − f_xy²

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

จุดวิกฤตและอินทิกรัลสองชั้น: จุดวิกฤตมี f_x = f_y = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองด้วย D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 และ f_xx > 0 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ D > 0 และ f_xx < 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ D < 0 คือจุดอานม้า และ D = 0 ตัดสินไม่ได้ สำหรับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณทั่วไป ให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ สำหรับวงกลมและเซกเตอร์ให้ใช้พิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ และ dA = r dr dθ (อย่าลืมตัวประกอบ r)

อนุพันธ์อันดับสอง

f_xx = 6, f_yy = 6, f_xy = −3

ตัวจำแนก

D = 6·6 − (−3)² = 27

→ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

คำตอบ

D = 27

คำถามและคำตอบ

แคลคูลัสหลายตัวแปร คืออะไร

ตัวอย่าง: f(x, y) = x²y + 3y² ถือ y เป็นตัวเลขสำหรับ f_x และถือ x เป็นตัวเลขสำหรับ f_y:

จะแก้โจทย์ แคลคูลัสหลายตัวแปร ทีละขั้นได้อย่างไร

สำหรับอนุพันธ์ย่อย ให้ถือตัวแปรอีกตัวเป็นค่าคงที่และใช้กฎของตัวแปรเดียว
สำหรับโจทย์เกรเดียนต์ ให้คำนวณ ∇f = (f_x, f_y) ที่จุดนั้น ใช้ |∇f| สำหรับความชันสูงสุด และ ∇f·u ด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u สำหรับอนุพันธ์ตามทิศทาง
สำหรับค่าสุดขีด ให้แก้ f_x = 0 และ f_y = 0 พร้อมกัน แล้วจัดประเภททุกจุดด้วย D = f_xx·f_yy − f_xy²
สำหรับอินทิกรัลสองชั้น ให้ร่างบริเวณ เลือกลำดับ (หรือพิกัดเชิงขั้วสำหรับจานวงกลม) เพื่อให้ขอบเขตชั้นในเป็นเส้นโค้งที่ล้อมบริเวณ และอินทิเกรตชั้นในก่อน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน แคลคูลัสหลายตัวแปร มีอะไรบ้าง

หาอนุพันธ์ของตัวแปรที่ควรถือเป็นค่าคงที่
ลืมทำให้เวกเตอร์ทิศทางเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
เขียน D = f_xx·f_yy + f_xy² หรือเรียกจุดที่ D < 0 ว่าจุดสุดขีด
ใช้ขอบเขตชั้นในคงที่สำหรับบริเวณที่ถูกล้อมด้วยเส้นโค้ง
ละตัวประกอบ r ใน dA = r dr dθ

แบบฝึกหัด แคลคูลัสหลายตัวแปร ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: อนุพันธ์ย่อยและอินทิกรัลสองชั้น
ปานกลาง: เกรเดียนต์ ระนาบสัมผัส และกฎลูกโซ่
ยาก: จุดวิกฤตและอินทิกรัลบนบริเวณ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

อนุพันธ์อินทิกรัล

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 แคลคูลัส 2

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิต อนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุด อินทิกรัล ลำดับและอนุกรม สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อน วิธีเชิงตัวเลข เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็น สถิติเชิงพรรณนา การแจกแจงปกติ ช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน แคลคูลัสหลายตัวแปร พร้อมเฉลย