ทฤษฎีกราฟ: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด ทฤษฎีกราฟ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ดีกรีและเส้นเชื่อม, ทางเดินออยเลอร์และต้นไม้, เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

ต้นไม้มี 12 จุดยอด มีกี่เส้นเชื่อม |E|

|V| = 12

คำตอบที่แน่นอน: จำนวนเต็ม ไม่ต้องปัดเศษ

โจทย์ถัดไป →
ฝึก ทฤษฎีกราฟ ฟรีฝึก ทฤษฎีกราฟ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายดีกรีและเส้นเชื่อม
  2. ปานกลางทางเดินออยเลอร์และต้นไม้
  3. ยากเส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม

วิธีแก้โจทย์ทฤษฎีกราฟ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมหารผลบวกของดีกรีด้วย 2
  • บอกว่ากราฟเป็นแบบออยเลอร์โดยไม่ตรวจการเชื่อมโยง
  • ยืนยันจุดยอดในไดก์สตราก่อนที่ระยะทางของมันจะน้อยที่สุด
  • เลือกเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดโดยไม่ตรวจวัฏจักร
  • นับวงจรแฮมิลตันของ Kn เป็น n! แทนที่จะเป็น (n − 1)!/2

สูตรสำคัญ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

เรียนรู้ ทฤษฎีกราฟ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

1จุดยอด เส้นเชื่อม และดีกรี

กราฟประกอบด้วยจุดยอด (จุด) และเส้นเชื่อม (เส้นที่เชื่อมจุดยอดสองจุด) ในกราฟอย่างง่ายจะไม่มีลูปและไม่มีเส้นเชื่อมซ้ำ

ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย จึงเพิ่มดีกรีให้ปลายละ 1 จากนี้ได้เล็มมาการจับมือ:

Σ deg(v) = 2·|E|

ผลที่ตามมาสองข้อ: ผลบวกของดีกรีเป็นจำนวนคู่เสมอ และจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่ก็เป็นจำนวนคู่เช่นกัน

  • กราฟบริบูรณ์ Kn เชื่อมทุกคู่: n(n − 1)/2 เส้นเชื่อม
  • กราฟสองส่วนบริบูรณ์ Km,n เชื่อมทุกจุดยอดด้านหนึ่งกับทุกจุดยอดอีกด้านหนึ่ง: m·n เส้นเชื่อม
  • กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี n·k/2 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิดมี 1 ที่ตำแหน่ง (i, j) เมื่อ i และ j เชื่อมกัน สำหรับกราฟไม่ระบุทิศทาง เมทริกซ์นี้สมมาตร ผลบวกของแถวคือดีกรี และสมาชิก (i, j) ของ Mᴸ นับจำนวนวอล์กความยาว L จาก i ไป j

ตรวจสอบตนเอง กราฟมีดีกรี 3, 3, 2, 2, 2 มีกี่เส้นเชื่อม
  1. 10
  2. 12
  3. 5
  4. 6

คำตอบ: 6. ดีกรีรวมกันได้ 12 และเส้นเชื่อมทุกเส้นถูกนับสองครั้ง ดังนั้นมี 12/2 = 6 เส้นเชื่อม ส่วน 5 คือจำนวนจุดยอด

2ออยเลอร์และแฮมิลตัน

วงจรออยเลอร์ใช้เส้นเชื่อมทุกเส้นเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่จุดเริ่มต้น ทางเดินออยเลอร์ใช้เส้นเชื่อมทุกเส้นเพียงครั้งเดียวแต่อาจจบที่อื่น สำหรับกราฟเชื่อมโยง:

  • ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด: มีวงจรออยเลอร์
  • มีดีกรีคี่พอดีสองจุดยอด: มีทางเดินออยเลอร์ จากจุดยอดคี่จุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง
  • มีดีกรีคี่มากกว่าสองจุดยอด: ไม่มีทั้งสองอย่าง

วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดเพียงครั้งเดียว ไม่มีการทดสอบดีกรีง่าย ๆ สำหรับวงจรนี้ ใน Kn มีวงจรแฮมิลตันที่ต่างกัน (n − 1)!/2 วงจร: กำหนดจุดเริ่มต้น เรียงอีก n − 1 จุดยอด และหารด้วย 2 สำหรับสองทิศทาง

ตรวจสอบตนเอง กราฟเชื่อมโยงมีดีกรี 2, 3, 4, 3, 2 กราฟนี้มีอะไร
  1. ทางเดินออยเลอร์ แต่ไม่มีวงจรออยเลอร์
  2. มีทั้งวงจรออยเลอร์และทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร
  3. วงจรออยเลอร์
  4. ไม่มีทั้งสองอย่าง

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ แต่ไม่มีวงจรออยเลอร์. มีจุดยอดสองจุดพอดีที่มีดีกรีคี่ (สองจุดที่ดีกรี 3) จึงมีทางเดินออยเลอร์ระหว่างสองจุดนั้น แต่ไม่มีวงจร

3ต้นไม้

ต้นไม้คือกราฟเชื่อมโยงที่ไม่มีวัฏจักร ต้นไม้ทุกต้นที่มี n จุดยอดมีเส้นเชื่อม n − 1 เส้นพอดี การเพิ่มเส้นเชื่อมใด ๆ จะเกิดวัฏจักร การเอาเส้นเชื่อมใด ๆ ออกจะทำให้กราฟไม่เชื่อมโยง

ป่าที่มีต้นไม้ c ต้นบน n จุดยอดมี n − c เส้นเชื่อม กราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือใช้นับใบ: Σ deg = 2(n − 1) รูปย่อคือ L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3 ต้นไม้ที่มีจุดยอดดีกรี 3 สองจุดและที่เหลือเป็นใบมี 2 + 1 + 1 = 4 ใบ

4ไดก์สตราและต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราหาระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดยอดเริ่มต้นในกราฟที่น้ำหนักไม่เป็นลบ

  1. ให้ระยะทางเริ่มต้นเป็น 0 และจุดยอดอื่นทุกจุดเป็น ∞
  2. ยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางน้อยที่สุด ระยะทางของจุดนั้นเป็นค่าสุดท้ายแล้ว
  3. สำหรับเพื่อนบ้าน v แต่ละจุด ปรับ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
  4. ทำซ้ำจนกว่าจะยืนยันจุดหมายปลายทางได้

ต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดเชื่อมทุกจุดยอดด้วยน้ำหนักรวมน้อยที่สุด ครัสคัลเรียงเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและเลือกทุกเส้นเว้นแต่เส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร พริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้น โดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ทั้งสองวิธีหยุดหลังได้ n − 1 เส้นเชื่อม

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหาระยะทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป E ในกราฟข้างล่าง

1

เริ่มต้น

412581ABCDE

d(A) = 0 เพื่อนบ้านของ A ได้ d(B) = 4 และ d(C) = 1

2

ยืนยัน C (1)

ผ่าน C: d(B) = min(4, 1 + 2) = 3 และ d(E) = 1 + 8 = 9

3

ยืนยัน B (3)

ผ่าน B: d(D) = 3 + 5 = 8

4

ยืนยัน D (8)

ผ่าน D: d(E) = min(9, 8 + 1) = 9 ไม่ดีขึ้น ได้ค่าเท่ากัน

5

ยืนยัน E (9)

E ถูกยืนยันแล้ว: ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้าย

คำตอบ

ระยะทางที่สั้นที่สุดคือ d(E) = 9 ตามเส้นทาง A → C → E เส้นทาง A → C → B → D → E มีความยาวเท่ากัน คือ 1 + 2 + 5 + 1 = 9

ตรวจสอบตนเอง ขั้นตอนวิธีของครัสคัลเลือกเส้นเชื่อมน้ำหนัก 1, 2 และ 3 แล้ว เส้นเชื่อมที่เบาที่สุดถัดไปคือน้ำหนัก 4 เชื่อมจุดยอดสองจุดที่เชื่อมโยงกันอยู่แล้ว จะเกิดอะไรขึ้น
  1. ขั้นตอนวิธีหยุดทำงาน
  2. ถูกข้ามเพราะจะทำให้เกิดวัฏจักร
  3. ถูกเลือกเพราะเป็นเส้นที่เบาที่สุดที่เหลือ
  4. เส้นเชื่อมน้ำหนัก 3 ถูกเอาออกแทน

คำตอบ: ถูกข้ามเพราะจะทำให้เกิดวัฏจักร. ครัสคัลไม่ทำให้เกิดวัฏจักร: เส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดในส่วนประกอบเดียวกันจะถูกข้าม และขั้นตอนวิธีไปต่อที่เส้นเชื่อมถัดไป

5ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมหารผลบวกของดีกรีด้วย 2 เพื่อหาจำนวนเส้นเชื่อม
  • ทดสอบวงจรออยเลอร์โดยไม่ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน
  • ยืนยันจุดยอดในไดก์สตราก่อนที่จะมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด
  • เลือกเส้นเชื่อมที่เบาที่สุด n − 1 เส้นโดยไม่ตรวจวัฏจักร
  • นับวงจรแฮมิลตันของ Kn เป็น n! แทนที่จะเป็น (n − 1)!/2

6ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ดีกรีและเส้นเชื่อม คุณใช้เล็มมาการจับมือ นับเส้นเชื่อมของ Kn, Km,n กราฟปรกติและต้นไม้ อ่านเมทริกซ์ประชิด หรือคลิกจุดยอดที่มีดีกรีที่กำหนด
  • ปานกลาง: ทางเดินออยเลอร์และต้นไม้ คุณตัดสินว่ากราฟมีวงจรหรือทางเดินออยเลอร์หรือไม่ นับใบของต้นไม้ นับเส้นเชื่อมที่ต้องเอาออกเพื่อให้ได้ต้นไม้ทอดข้าม หรือนับวงจรแฮมิลตันใน Kn
  • ยาก: เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม คุณรันขั้นตอนวิธีของไดก์สตรา หาจุดยอดที่ถูกยืนยันในรอบที่กำหนด หาน้ำหนักของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด คลิกเส้นเชื่อมที่ครัสคัลหรือพริมเพิ่มต่อไป หรือนับวอล์กด้วยเมทริกซ์ประชิด

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
AABBCCDDEE0010000001100010000101110

แสดงเมทริกซ์ประชิดของกราฟอย่างง่ายไม่มีทิศทาง กราฟมีกี่เส้นเชื่อม |E|

จงหา |E|

แสดงคำใบ้
  1. สมาชิก (i, j) เป็น 1 เมื่อจุดยอด i และ j เชื่อมกันด้วยเส้นเชื่อม
  2. เส้นเชื่อม {i, j} แต่ละเส้นให้ 1 สองตัว: หนึ่งที่ (i, j) และหนึ่งที่ (j, i)
  3. เมทริกซ์มี 1 อยู่ 8 ตัว
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

นับบิต 1

ผลบวกของแถว: 1 + 1 + 2 + 1 + 3 = 8
|E| = 8/2 = 4

คำตอบ

|E| = 4
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 10
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
แสดงคำใบ้
  1. ทฤษฎีบทของออยเลอร์ต้องใช้เพียงดีกรีของจุดยอด (กราฟเชื่อมโยง)
  2. ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด: วงจรออยเลอร์ ดีกรีคี่พอดีสองจุด: ทางเดินออยเลอร์ระหว่างสองจุดนั้น มากกว่านั้น: ไม่มีทั้งสองอย่าง
  3. นับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
แสดงคำตอบและคำอธิบาย

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

จุดยอดคี่

A, G → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 3ยาก
ABCDEF

มีวอล์กปิดความยาว 3 ที่เริ่มและจบที่ E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3

จงหา N

แสดงคำใบ้
  1. ด้วยเมทริกซ์ประชิด M จำนวนวอล์กความยาว L จาก i ไป j คือสมาชิก (i, j) ของ Mᴸ
  2. นับวอล์กความยาว 2 จาก E ไปยังทุกจุดยอดก่อน แล้วเดินอีกหนึ่งก้าว
  3. วอล์กความยาว 2 จาก E: A: 2, B: 1, C: 0, D: 2, E: 4, F: 1
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 0·1 + 2·1 + 4·0 + 1·1 = 4

คำตอบ

N = 4

คำถามและคำตอบ

ทฤษฎีกราฟ คืออะไร

ผลที่ตามมาสองข้อ: ผลบวกของดีกรีเป็นจำนวนคู่เสมอ และจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่ก็เป็นจำนวนคู่เช่นกัน

จะแก้โจทย์ ทฤษฎีกราฟ ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ทฤษฎีกราฟ มีอะไรบ้าง
  • ลืมหารผลบวกของดีกรีด้วย 2
  • บอกว่ากราฟเป็นแบบออยเลอร์โดยไม่ตรวจการเชื่อมโยง
  • ยืนยันจุดยอดในไดก์สตราก่อนที่ระยะทางของมันจะน้อยที่สุด
  • เลือกเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดโดยไม่ตรวจวัฏจักร
  • นับวงจรแฮมิลตันของ Kn เป็น n! แทนที่จะเป็น (n − 1)!/2
แบบฝึกหัด ทฤษฎีกราฟ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ดีกรีและเส้นเชื่อม
  • ปานกลาง: ทางเดินออยเลอร์และต้นไม้
  • ยาก: เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึมพื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ทฤษฎีกราฟ พร้อมเฉลย
ฝึก ทฤษฎีกราฟ ฟรีฝึก ทฤษฎีกราฟ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร