สถิติเชิงพรรณนา: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด สถิติเชิงพรรณนา ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, การแจกแจงปกติ

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
510152025303540

หาค่าเฉลี่ย x̄ ของข้อมูล: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33

n = 9
โจทย์ถัดไป →
ฝึก สถิติเชิงพรรณนา ฟรีฝึก สถิติเชิงพรรณนา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน
  2. ปานกลางส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
  3. ยากการแจกแจงปกติ

สูตรสำคัญ

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

เรียนรู้ สถิติเชิงพรรณนา ตั้งแต่ต้น

1ศูนย์กลาง: ค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน

สถิติเชิงพรรณนาสรุปรายการตัวเลข เรียกว่าข้อมูล ด้วยค่าไม่กี่ค่า คำถามแรกคือ ศูนย์กลางอยู่ที่ใด

ค่าเฉลี่ย (mean) คือค่าเฉลี่ยธรรมดา: บวกทุกค่าและหารด้วยจำนวนค่า n

x̄ = Σx / n

สัญลักษณ์ Σ หมายถึง “บวกทั้งหมด” และ x̄ อ่านว่า “เอ็กซ์บาร์” สำหรับ 3, 5 และ 10 ค่าเฉลี่ยคือ 18/3 = 6

มัธยฐาน (median) คือค่ากลางหลังเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก

  • n เป็นคี่: มัธยฐานคือค่ากลางตัวเดียว สำหรับ 3, 5, 10 คือ 5
  • n เป็นคู่: มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของสองค่ากลาง

ค่าสุดโต่งหนึ่งค่า คือค่านอกเกณฑ์ (outlier) ดึงค่าเฉลี่ยเข้าหามัน แต่แทบไม่ขยับมัธยฐาน รายได้จึงมักสรุปด้วยมัธยฐาน

ตรวจสอบตนเอง มัธยฐานของ 4, 40, 29, 22, 17, 20 คือเท่าใด
  1. 20
  2. 21
  3. 22
  4. 25.5

คำตอบ: 21. เรียง: 4, 17, 20, 22, 29, 40 สองค่ากลางคือ 20 และ 22 ดังนั้นมัธยฐานคือ 21 ส่วน 25.5 มาจากการเอาตรงกลางของรายการที่ยังไม่เรียง และ 22 คือค่าเฉลี่ย

2การกระจาย: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ชุดข้อมูลสองชุดมีค่าเฉลี่ยเท่ากันได้แต่การกระจายต่างกันมาก ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) s วัดว่าค่าทั่วไปห่างจากค่าเฉลี่ยเท่าใด

แต่ละค่ามีส่วนเบี่ยงเบน x − x̄ ส่วนเบี่ยงเบนรวมกันได้ศูนย์ คุณจึงยกกำลังสองก่อน ซึ่งทำให้เป็นบวกทั้งหมด

s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )

นี่คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: คุณหารด้วย n − 1 ไม่ใช่ n กำลังสองของ s เรียกว่าความแปรปรวน (variance)

สำหรับ 2, 4 และ 6: ค่าเฉลี่ยคือ 4 ส่วนเบี่ยงเบนคือ −2, 0 และ 2 กำลังสองรวมกันได้ 8 แล้ว 8/2 = 4 และ s = √4 = 2

ตรวจสอบตนเอง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างของ 2, 4 และ 6 คือเท่าใด
  1. 0
  2. 1.633
  3. 2
  4. 4

คำตอบ: 2. Σ(x − x̄)² = 8 หารด้วย n − 1 = 2 ได้ 4 และ √4 = 2 การหารด้วย n = 3 ได้ 1.633 ส่วน 4 ลืมรากที่สอง และ 0 คือผลรวมของส่วนเบี่ยงเบนก่อนยกกำลังสอง

3คะแนน z และการแจกแจงปกติ

การวัดจำนวนมาก เช่นส่วนสูงหรือคะแนนสอบ เป็นไปตามเส้นโค้งรูประฆัง: การแจกแจงปกติ (normal distribution) ศูนย์กลางคือค่าเฉลี่ย μ และความกว้างคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ

คะแนน z (z-score) บอกว่าค่าหนึ่งห่างจากค่าเฉลี่ยกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

z = (x − μ) / σ

ด้วย μ = 70 และ σ = 10 คะแนน 74 มี z = 4/10 = 0.4 z ติดลบหมายถึงค่าต่ำกว่าค่าเฉลี่ย

กฎ 68–95–99.7: ประมาณ 68% ของค่าอยู่ภายใน 1σ ของค่าเฉลี่ย 95% ภายใน 2σ และ 99.7% ภายใน 3σ

4045505560μ−1σ+1σ−2σ+2σ68%2.5%

ด้วย μ = 50 และ σ = 5 ค่า 60 มี z = 2 ประมาณ 95% อยู่ระหว่าง 40 ถึง 60 ดังนั้นประมาณ 2.5% อยู่เหนือ 60 ตาราง z ให้ค่าที่แน่นอน 0.0228

ตรวจสอบตนเอง คะแนน IQ เป็นแบบปกติที่ μ = 100 และ σ = 15 ประมาณกี่เปอร์เซ็นต์ของผู้คนได้คะแนนเกิน 115
  1. 16%
  2. 32%
  3. 34%
  4. 68%

คำตอบ: 16%. 115 สูงกว่าค่าเฉลี่ย 1σ 68% อยู่ภายใน 1σ ดังนั้น 32% อยู่นอก แบ่งเท่า ๆ กันสองหาง: 16% อยู่เหนือ ส่วน 32% ลืมแบ่งสองหาง

4วิธีทำทีละขั้น

  1. เขียนข้อมูลเป็นแถวและนับ n
  2. ค่าเฉลี่ย: บวกทุกอย่างและหารด้วย n
  3. มัธยฐาน: เรียงก่อน แล้วเอาค่ากลาง หรือค่าเฉลี่ยของสองค่ากลาง
  4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: ลบค่าเฉลี่ยจากแต่ละค่า ยกกำลังสอง บวก หารด้วย n − 1 หารากที่สอง
  5. คะแนน z: ลบ μ หารด้วย σ แล้วใช้กฎ 68–95–99.7 หรือตาราง z เพื่อหาสัดส่วน

ตารางที่มีคอลัมน์ x, x − x̄ และ (x − x̄)² ทำให้การคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นระเบียบ

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 4, 8, 6, 5, 7

1

ค่าเฉลี่ย

x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2

มัธยฐาน

เรียง: 4, 5, 6, 7, 8 เมื่อ n = 5 ค่ากลางคือค่าที่สาม

มัธยฐาน = 6
3

ส่วนเบี่ยงเบนและกำลังสอง

ลบค่าเฉลี่ยจากทุกค่า: −2, 2, 0, −1, 1 ตรวจสอบ: รวมกันได้ 0

2345678910x̄ = 6+2−2

ยกกำลังสอง: 4, 4, 0, 1, 1

Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4

หารด้วย n − 1

s² = 10 / (5 − 1) = 2.5
5

ถอดรากที่สอง

s = √2.5 ≈ 1.58

ตรวจสอบ: ค่าห่างจากค่าเฉลี่ย 0, 1 หรือ 2 ระยะทั่วไปประมาณ 1.6 จึงสมเหตุสมผล

คำตอบ

ค่าเฉลี่ย x̄ = 6 มัธยฐาน 6 และ s ≈ 1.58

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • เอาตรงกลางของรายการโดยไม่เรียงก่อน
  • หารด้วย n แทน n − 1 สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
  • ลืมรากที่สองตอนท้าย ซึ่งให้ความแปรปรวนแทน s
  • เครื่องหมายของคะแนน z ผิด: ค่าที่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมี z เป็นลบ
  • ลืมหารด้วย σ ในคะแนน z
ตรวจสอบตนเอง คะแนนสอบมีค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน z ของคะแนน 60 คือเท่าใด
  1. 1
  2. 6
  3. −10
  4. −1

คำตอบ: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1 คะแนนต่ำกว่าค่าเฉลี่ย z จึงเป็นลบ ส่วน −10 ลืมหารด้วย σ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ค่าเฉลี่ยหรือมัธยฐานของข้อมูลสั้น ๆ
  • ปานกลาง: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างของห้าหรือหกค่า หารด้วย n − 1
  • ยาก: การแจกแจงปกติ หาคะแนน z หรือสัดส่วนของค่าที่อยู่เหนือหรือใต้ค่าที่กำหนด

ตรวจอย่างเร็ว: ค่าเฉลี่ยและมัธยฐานอยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด และ s ไม่เคยเป็นลบ

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
510152025303540

หามัธยฐาน M ของข้อมูล: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5

n = 9

จงหา M

แสดงคำใบ้
  1. เรียงค่าจากน้อยไปมาก
  2. เมื่อมีจำนวนค่าเป็นเลขคี่ มัธยฐานคือค่ากลาง
  3. เรียงแล้ว: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เรียงลำดับ

3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40

ค่ากลาง

M = 18

คำตอบ

M = 18
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
152025303540455055

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59

n = 7

จงหา s

แสดงคำใบ้
  1. หาค่าเฉลี่ยก่อน
  2. ยกกำลังสองของความเบี่ยงเบนแต่ละค่าจากค่าเฉลี่ย บวกกัน หารด้วย n − 1 แล้วถอดรากที่สอง
  3. x̄ = 37.71.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 264/7 = 37.71

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−11.71)² + 19.29² + (−3.714)² + (−15.71)² + 15.29² + (−24.71)² + 21.29² = 2067

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(2067/6) = 18.56

คำตอบ

s = 18.56
ตัวอย่างที่ 3ยาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 36 คือเท่าใด

μ = 60σ = 12x = 36

จงหา P

แสดงคำใบ้
  1. แปลงเป็นคะแนนมาตรฐาน z ก่อน
  2. z = (36 − 60)/12 = −2.
  3. อ่านค่า Φ(z) จากตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

คำตอบ

P = 0.02275

คำถามและคำตอบ

สถิติเชิงพรรณนา คืออะไร

สถิติเชิงพรรณนาสรุปรายการตัวเลข เรียกว่าข้อมูล ด้วยค่าไม่กี่ค่า คำถามแรกคือ ศูนย์กลางอยู่ที่ใด

สัญลักษณ์ Σ หมายถึง “บวกทั้งหมด” และ x̄ อ่านว่า “เอ็กซ์บาร์” สำหรับ 3, 5 และ 10 ค่าเฉลี่ยคือ 18/3 = 6

จะแก้โจทย์ สถิติเชิงพรรณนา ทีละขั้นได้อย่างไร

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

แบบฝึกหัด สถิติเชิงพรรณนา ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน
  • ปานกลาง: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
  • ยาก: การแจกแจงปกติ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

การแจกแจงปกติการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเครื่องคำนวณเลขนัยสำคัญ (นับ ปัดเศษ และคำนวณ)เครื่องคำนวณร้อยละความคลาดเคลื่อน (และร้อยละของความต่าง)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยาสถิติเบื้องต้นคณิตศาสตร์วิศวกรรมเวชปฏิบัติอิงหลักฐานโจทย์ฝึก AP Statisticsฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน สถิติเชิงพรรณนา พร้อมเฉลย
ฝึก สถิติเชิงพรรณนา ฟรีฝึก สถิติเชิงพรรณนา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร