ช่วงความเชื่อมั่น: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด ช่วงความเชื่อมั่น ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ช่วง z, ช่วง t, ขนาดตัวอย่าง

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
LU = ?p̂ = 55/100E90%

ในการสำรวจผู้ลงคะแนนที่สุ่มเลือก 100 คน มี 55 คนสนับสนุนข้อเสนอ จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับสัดส่วนผู้สนับสนุน

n = 100x = 5590%
โจทย์ถัดไป →
ฝึก ช่วงความเชื่อมั่น ฟรีฝึก ช่วงความเชื่อมั่น เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายช่วง z
  2. ปานกลางช่วง t
  3. ยากขนาดตัวอย่าง

วิธีแก้โจทย์ช่วงความเชื่อมั่น

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมหารด้วย √n
  • ใช้ z เมื่อตัวอย่างเล็กและไม่ทราบ σ
  • ปัดขนาดตัวอย่างลงแทนที่จะปัดขึ้น

สูตรสำคัญ

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

เรียนรู้ ช่วงความเชื่อมั่น ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: การแจกแจงปกติ

1ช่วงความเชื่อมั่นคืออะไร

คุณต้องการค่าเฉลี่ย μ ของประชากรทั้งหมด เช่นอายุเฉลี่ยของแบตเตอรี่ทั้งหมดที่โรงงานผลิต คุณทดสอบทั้งหมดไม่ได้ จึงทดสอบตัวอย่าง n ก้อน

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง x̄ เป็นการเดาที่ดีที่สุดสำหรับ μ แต่ตัวอย่างอื่นจะให้ x̄ ต่างเล็กน้อย ตัวเลขเดียวซ่อนความไม่แน่นอนนั้น

ช่วงความเชื่อมั่น (confidence interval) ให้ช่วงแทน: x̄ ลบส่วนเผื่อ ถึง x̄ บวกส่วนเผื่อ

55x̄52.0657.94E = 2.94E = 2.94

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สร้างโดยวิธีที่จับ μ จริงได้ใน 95% ของทุกตัวอย่าง ระดับความเชื่อมั่นที่สูงขึ้นให้ช่วงที่กว้างขึ้น

ตรวจสอบตนเอง คุณคำนวณช่วงความเชื่อมั่น 90% และ 99% จากตัวอย่างเดียวกัน ช่วงใดกว้างกว่า
  1. กว้างเท่ากัน
  2. ขึ้นกับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
  3. ช่วง 90%
  4. ช่วง 99%

คำตอบ: ช่วง 99%. เพื่อให้มั่นใจมากขึ้นว่าช่วงมี μ อยู่ ช่วงต้องกว้างขึ้น ค่าวิกฤต 99% คือ 2.576 มากกว่าค่า 90% คือ 1.645

2ช่วง z

เมื่อทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร σ ช่วงคือ:

x̄ ± z · σ / √n

พจน์ σ/√n คือความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (standard error): x̄ เปลี่ยนไปจากตัวอย่างหนึ่งไปอีกตัวอย่างเท่าใด ตัวอย่างที่ใหญ่กว่าให้ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานที่เล็กกว่า

ค่าวิกฤต z ขึ้นกับระดับความเชื่อมั่น จำสามค่านี้:

  • 90%: z = 1.645
  • 95%: z = 1.96
  • 99%: z = 2.576

ส่วนเผื่อความคลาดเคลื่อน (margin of error) คือ E = z · σ/√n ช่วงไปจาก x̄ − E (ขอบล่าง) ถึง x̄ + E (ขอบบน)

ตรวจสอบตนเอง ตัวอย่าง 64 ค่ามีค่าเฉลี่ย 55 σ ของประชากรคือ 12 ขอบบนของช่วงความเชื่อมั่น 95% คือเท่าใด
  1. 55.37
  2. 57.47
  3. 57.94
  4. 78.52

คำตอบ: 57.94. E = 1.96 · 12/√64 = 1.96 · 1.5 = 2.94 ดังนั้นขอบบนคือ 57.94 การลืม √n ได้ 78.52 และ 57.47 ใช้ค่า 90% คือ 1.645

3ช่วง t และขนาดตัวอย่าง

โดยปกติไม่ทราบ σ แล้วคุณใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s และค่าวิกฤตมาจากการแจกแจง t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

จำนวนองศาเสรี df คือ n − 1 ค่า t มากกว่า z ช่วงจึงกว้างกว่า: มันรองรับความไม่แน่นอนเพิ่มใน s สำหรับ n ที่ใหญ่ t เข้าใกล้ z

ที่ 95%: t = 2.262 สำหรับ df = 9, t = 2.131 สำหรับ df = 15 และ t = 2.045 สำหรับ df = 29

บางครั้งคุณต้องวางแผนขนาดตัวอย่าง: n ต้องใหญ่เท่าใดเพื่อให้ส่วนเผื่อความคลาดเคลื่อนไม่เกิน E แก้ E = zσ/√n หา n:

n = (z · σ / E)²

ปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มถัดไปเสมอ การปัดลงจะให้ส่วนเผื่อมากกว่า E เล็กน้อย

ตรวจสอบตนเอง σ = 13 ตัวอย่างต้องใหญ่เท่าใดสำหรับช่วง 95% ที่มีส่วนเผื่อความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

คำตอบ: 163. (1.96 · 13/2)² = 12.74² = 162.3 ปัดขึ้นเป็น 163 การปัดลงเป็น 162 ให้ส่วนเผื่อเกิน 2 เล็กน้อย และ 13 ลืมยกกำลังสอง

4วิธีทำทีละขั้น

  1. เขียน n, x̄ และ σ หรือ s
  2. เลือก z (ทราบ σ) หรือ t ที่ df = n − 1 (ทราบเฉพาะ s)
  3. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  4. คำนวณความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: σ/√n หรือ s/√n
  5. ส่วนเผื่อความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
  6. ช่วง: จาก x̄ − E ถึง x̄ + E ให้ขอบที่ถาม

สำหรับคำถามขนาดตัวอย่าง: n = (zσ/E)² ปัดขึ้น

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ตัวอย่าง 16 รายการมีค่าเฉลี่ย 40 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 6 ประชากรแจกแจงปกติโดยประมาณ จงหาช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

1

z หรือ t

ทราบเฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ไม่ทราบ σ จึงใช้ t ที่ df = n − 1 = 15

t(15) = 2.131 at 95%
2

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1.5
3

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.131 · 1.5 = 3.197
4

ช่วง

40 − 3.197 = 36.80, 40 + 3.197 = 43.20
40x̄36.8043.20E = 3.20E = 3.20
5

ตรวจสอบคำตอบ

ด้วย z = 1.96 ส่วนเผื่อจะเป็น 2.94 ช่วง t กว้างกว่าเล็กน้อย ตามที่ควรเป็นเมื่อไม่ทราบ σ

คำตอบ

ช่วงความเชื่อมั่น 95% คือ [36.80, 43.20]

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมหารด้วย √n
  • ใช้ z เมื่อตัวอย่างเล็กและไม่ทราบ σ
  • ใช้ df = n แทน df = n − 1 สำหรับ t
  • ใช้ค่า 90% คือ 1.645 สำหรับช่วง 95%
  • ปัดขนาดตัวอย่างลงแทนที่จะปัดขึ้น
ตรวจสอบตนเอง ตัวอย่าง n = 10 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 5 ไม่ทราบ σ คุณใช้ค่าวิกฤตใดสำหรับช่วง 95%
  1. t = 2.228 (df = 10)
  2. t = 2.262 (df = 9)
  3. z = 1.645
  4. z = 1.96

คำตอบ: t = 2.262 (df = 9). ไม่ทราบ σ จึงใช้ t ที่ df = n − 1 = 9 การใช้ z มองข้ามความไม่แน่นอนใน s และ df = 10 ลืมลบหนึ่ง

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ช่วง z ทราบ σ หาขอบล่างหรือขอบบน
  • ปานกลาง: ช่วง t ให้เฉพาะ s ค่า t ที่ n − 1 องศาเสรีให้มาหรือมาจากตาราง
  • ยาก: ขนาดตัวอย่าง หา n ที่เล็กที่สุดสำหรับส่วนเผื่อความคลาดเคลื่อนที่กำหนด และปัดขึ้น

ตรวจอย่างเร็ว: ค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ตรงกลางช่วงพอดีเสมอ

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174.5E90%

ตัวอย่างการวัด 200 ค่ามีค่าเฉลี่ย 174.5 ทราบว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 30 หาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 200x̄ = 174.5σ = 3090%

จงหา ขีดจำกัดบน

แสดงคำใบ้
  1. ทราบ σ จึงใช้ค่าวิกฤต z
  2. z = 1.645 (90%).
  3. E = z·σ/√n
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.645·30/√200 = 3.49

ช่วง

x̄ ± E = 174.5 ± 3.49 → [171, 178]

คำตอบ

ขีดจำกัดบน = 178
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
x̄E₁ = 7.895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 50 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 7.8 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ เป็นเท่าใดถ้าการศึกษาเดียวกันใช้ 100 ค่าแทน

95%n₁ = 50E₁ = 7.8n₂ = 100

จงหา E₂

แสดงคำใบ้
  1. E = z·σ/√n และ σ คงเดิม
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂)
  3. z₁ = 1.96, z₂ = 1.96.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(50/100) = 0.7071

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 7.8·0.7071 = 5.515

คำตอบ

E₂ = 5.515
ตัวอย่างที่ 3ยาก
n = 21Lσ = ?s = 1.295%

เพลาที่กลึง 21 ชิ้นมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 1.2 µm สมมติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมีการแจกแจงปกติ จงหา ขีดจำกัดบน σ ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เมื่อ df = 20 การแจกแจง χ² 2.5% อยู่ต่ำกว่า 9.591 และ 2.5% อยู่สูงกว่า 34.17

n = 21s = 1.2 µmχ² = 9.591, 34.17

จงหา σ (µm)

แสดงคำใบ้
  1. สำหรับประชากรปกติ (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1
  2. ช่วงสำหรับ σ²: จาก (n − 1)s²/34.17 ถึง (n − 1)s²/9.591 หารากที่สองเพื่อให้ได้ σ
  3. (n − 1)s² = 28.8.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ช่วงสำหรับความแปรปรวน: (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1 ช่วง 95% สำหรับ σ² ไปจาก (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านบน (2.5% อยู่เหนือค่านั้น) ถึง (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านล่าง (2.5% อยู่ต่ำกว่าค่านั้น) ช่วงสำหรับ σ คือรากที่สองของทั้งสองขีดจำกัด และไม่สมมาตรรอบ s

ผลรวมกำลังสอง

(n − 1)s² = 20·1.2² = 28.8

ขีดจำกัดของ σ²

28.8/34.17 = 0.8428
28.8/9.591 = 3.003

ขีดจำกัดของ σ

σ = √3.003 = 1.733 µm

คำตอบ

σ = 1.733 µm

ช่วง 95% สำหรับ σ: [0.9181, 1.733] µm

คำถามและคำตอบ

ช่วงความเชื่อมั่น คืออะไร

คุณต้องการค่าเฉลี่ย μ ของประชากรทั้งหมด เช่นอายุเฉลี่ยของแบตเตอรี่ทั้งหมดที่โรงงานผลิต คุณทดสอบทั้งหมดไม่ได้ จึงทดสอบตัวอย่าง n ก้อน

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง x̄ เป็นการเดาที่ดีที่สุดสำหรับ μ แต่ตัวอย่างอื่นจะให้ x̄ ต่างเล็กน้อย ตัวเลขเดียวซ่อนความไม่แน่นอนนั้น

จะแก้โจทย์ ช่วงความเชื่อมั่น ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ช่วงความเชื่อมั่น มีอะไรบ้าง
  • ลืมหารด้วย √n
  • ใช้ z เมื่อตัวอย่างเล็กและไม่ทราบ σ
  • ปัดขนาดตัวอย่างลงแทนที่จะปัดขึ้น
แบบฝึกหัด ช่วงความเชื่อมั่น ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ช่วง z
  • ปานกลาง: ช่วง t
  • ยาก: ขนาดตัวอย่าง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

การแจกแจงปกติ

เรียนต่อด้วย

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณช่วงความเชื่อมั่นเครื่องคำนวณขนาดตัวอย่าง

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยาสถิติเบื้องต้นสถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติเวชปฏิบัติอิงหลักฐานโจทย์ฝึก AP Statisticsฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ช่วงความเชื่อมั่น พร้อมเฉลย
ฝึก ช่วงความเชื่อมั่น ฟรีฝึก ช่วงความเชื่อมั่น เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร