อินทิกรัล: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: แบบฝึกหัด อินทิกรัล ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: พหุนาม ปานกลาง: เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการแทนค่า ยาก: พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด อินทิกรัล ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: พหุนาม, เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการแทนค่า, พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

คำนวณ I = ∫₋₂⁻¹ (4x² − 4x + 5) dx

f(x) = 4x² − 4x + 5[−2, −1]

โจทย์ถัดไป →

ฝึก อินทิกรัล ฟรี ฝึก อินทิกรัล เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายพหุนาม
ปานกลางเอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการแทนค่า
ยากพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง

วิธีแก้โจทย์อินทิกรัล

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ลืมหารด้วยกำลังใหม่
ไม่เปลี่ยนขอบเขตหลังการแทนค่า
ลืม + C ในอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

สูตรสำคัญ

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

เรียนรู้ อินทิกรัล ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: อนุพันธ์

1อินทิกรัลคืออะไร

อินทิกรัล (integral) รวมปริมาณที่เปลี่ยนแปลง ภาพที่ชัดที่สุดคือพื้นที่ใต้กราฟ

รถขับด้วย 20 m/s เป็นเวลา 5 s ได้ระยะทาง 20 · 5 = 100 m บนกราฟอัตราเร็ว–เวลา นั่นคือพื้นที่สี่เหลี่ยมใต้เส้น

เมื่ออัตราเร็วเปลี่ยน รูปใต้กราฟโค้ง แต่แนวคิดเหมือนกัน: พื้นที่คือระยะทาง

เขียนพื้นที่ใต้ f ระหว่าง x = a และ x = b ว่า:

∫_a^b f(x) dx

ตัวเลข a และ b คือขีดจำกัดของอินทิกรัล dx บอกว่า x เป็นตัวแปร

ตรวจสอบตนเอง นักปั่นจักรยานปั่นด้วย 10 m/s คงที่เป็นเวลา 4 s พื้นที่ใต้กราฟอัตราเร็ว–เวลาเป็นเท่าใด

10 m
14 m
2.5 m
40 m

คำตอบ: 40 m. พื้นที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า: สูง 10 m/s คูณกว้าง 4 s ได้ 40 m การหาร 10 ด้วย 4 ได้ 2.5 ซึ่งไม่ใช่พื้นที่

2ปฏิยานุพันธ์และกฎกำลัง

การอินทิเกรตคือการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ ปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) F ของ f คือฟังก์ชันที่อนุพันธ์เป็น f

เนื่องจาก (x³)′ = 3x² ปฏิยานุพันธ์ของ 3x² คือ x³ บวกค่าคงตัวใดก็ได้ จึงเขียน ∫3x² dx = x³ + C

กฎกำลังสำหรับอินทิกรัล: เพิ่มกำลังขึ้นหนึ่ง แล้วหารด้วยกำลังใหม่

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1

ตัวประกอบคงตัวอยู่ด้านหน้า: ∫5x² dx = 5x³/3 + C
ค่าคงตัวเดี่ยว ๆ: ∫4 dx = 4x + C
ในผลบวก ให้อินทิเกรตทีละพจน์

ควรจำสิ่งเหล่านี้ด้วย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫e^kx dx = e^kx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x และ ∫sin x dx = −cos x

คุณตรวจสอบปฏิยานุพันธ์ได้เสมอ: หาอนุพันธ์ของมัน แล้วต้องได้ฟังก์ชันเดิมกลับมา

ตรวจสอบตนเอง ∫6x² dx เท่ากับเท่าใด

12x + C
2x³ + C
3x³ + C
6x³ + C

คำตอบ: 2x³ + C. เพิ่มกำลังเป็น 3 แล้วหารด้วย 3: 6x³/3 = 2x³ ส่วน 12x เป็นอนุพันธ์ ไม่ใช่อินทิกรัล และ 6x³ ลืมหารด้วยกำลังใหม่

3อินทิกรัลจำกัดเขตและพื้นที่

อินทิกรัลจำกัดเขต (definite integral) มีขีดจำกัดและให้ค่าเป็นตัวเลข หาปฏิยานุพันธ์ F แล้วลบค่าที่ขีดจำกัดทั้งสอง

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

ค่าคงตัว C ตัดกันในการลบ จึงละไว้ได้ที่นี่

ตัวอย่าง: ∫₁³ 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3.296 เพราะ ln 1 = 0

การแทนค่า (substitution) ช่วยเมื่อฟังก์ชันหนึ่งอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง สำหรับ e^0.5x ตั้ง u = 0.5x ผลคือกฎข้างต้น: หารด้วย 0.5

∫₀³ e^0.5x dx = 2e^0.5x |₀³ = 2(e^1.5 − 1) ≈ 6.963

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคืออินทิกรัลของเส้นบนลบเส้นล่าง ระหว่างจุดที่เส้นพบกัน

สำหรับ y = 2x และ y = x² เส้นโค้งพบกันที่ x = 0 และ x = 2 ในช่วงนั้น 2x อยู่ด้านบน

A = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

ตรวจสอบตนเอง เส้นโค้ง y = x และ y = x² พบกันที่ x = 0 และ x = 1 ระหว่างนั้น y = x อยู่ด้านบน พื้นที่ที่ล้อมรอบเป็นเท่าใด

1/2
1/6
5/6
−1/6

คำตอบ: 1/6. ∫(x − x²) dx จาก 0 ถึง 1 เท่ากับ 1/2 − 1/3 = 1/6 การเอาล่างลบบนได้ −1/6 และการบวกอินทิกรัลสองตัวได้ 5/6

4วิธีทำทีละขั้น

เขียนฟังก์ชันใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เขียนรากและเศษส่วนเป็นกำลัง: √x = x^1/2
หาปฏิยานุพันธ์ของทุกพจน์ด้วยกฎกำลังหรืออินทิกรัลมาตรฐาน
ตรวจสอบอย่างรวดเร็วโดยหาอนุพันธ์ในใจ
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ F(b) และ F(a) แยกกัน
ลบ: F(b) − F(a) ระวังเครื่องหมายลบเมื่อ a เป็นลบ

สำหรับพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง ให้แก้ f(x) = g(x) เพื่อหาขีดจำกัดก่อน แล้วอินทิเกรตเส้นบนลบเส้นล่าง

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหาค่า I = ∫₀² (3x² + 2x + 1) dx

อินทิเกรตทีละพจน์

3x² ให้ 3x³/3 = x³ 2x ให้ 2x²/2 = x² ค่าคงตัว 1 ให้ x

F(x) = x³ + x² + x

ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์

F′(x) = 3x² + 2x + 1

นี่คือฟังก์ชันเดิม F จึงถูกต้อง

ค่าที่ขีดจำกัดบน

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14

ค่าที่ขีดจำกัดล่าง

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0

ลบ

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14

อินทิกรัลคือพื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งระหว่าง x = 0 และ x = 2

คำตอบ

I = 14

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ลืมหารด้วยกำลังใหม่
หาอนุพันธ์แทนการอินทิเกรต: ลดกำลังแทนที่จะเพิ่ม
เขียน ∫1/x dx เป็น x⁰/0 กฎกำลังใช้ไม่ได้กับ n = −1 ให้ใช้ ln|x|
ลืมเครื่องหมายลบใน F(a) เมื่อ a เป็นลบ เช่น (−1)³ = −1
ลืม + C ในอินทิกรัลไม่จำกัดเขต หรือไม่เปลี่ยนขีดจำกัดหลังการแทนค่า

ตรวจสอบตนเอง ∫₀² x³ dx เท่ากับเท่าใด

คำตอบ: 4. F(x) = x⁴/4 ดังนั้น F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4 การลืมหารด้วยกำลังใหม่ 4 ได้ 16

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: อินทิกรัลจำกัดเขตของพหุนาม บางครั้งมีขีดจำกัดเป็นลบ ใช้กฎกำลังและ F(b) − F(a)
ปานกลาง: เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการแทนค่า เช่น ∫e^0.5x dx หรือ ∫3/x dx ระหว่างสองขีดจำกัด
ยาก: พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้น เช่น y = x² และ y = 4x หาจุดที่พบกัน แล้วอินทิเกรตเส้นบนลบเส้นล่าง

ตรวจอย่างรวดเร็ว: พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้นเป็นบวกเสมอ ถ้าได้จำนวนลบ แสดงว่าลบผิดลำดับ

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

บริเวณใต้ y = 0.5x จาก x = 0 ถึง x = 3 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

จงหา V

แสดงคำใบ้

ชิ้นที่ x เป็นจานรัศมี y = 0.5x
V = π∫₀³ (0.5x)² dx.
= π·0.25·x³/3.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀³ 0.25x² dx

อินทิเกรต

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

คำตอบ

V = 7.069

ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 1.5 และสูง 3 มี (1/3)πr²h = 7.069

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀² x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀² x·cos x dx

จงหา I

แสดงคำใบ้

ให้ u = x และ dv = cos x dx
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

คำตอบ

I = 0.4024

ตัวอย่างที่ 3ยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 2x² และ y = x

y = 2x²y = x

จงหา A

แสดงคำใบ้

ก่อนอื่นหาจุดที่เส้นโค้งมาพบกัน: ให้สมการทั้งสองเท่ากัน
เส้นโค้งทั้งสองพบกันที่ x = 0 และ x = 0.5 ระหว่างสองจุดนี้เส้นตรงอยู่เหนือพาราโบลา
A = ∫₀^0.5 (x − 2x²) dx.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

2x² = x → x = 0, x = 0.5

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

คำตอบ

A = 0.04167

คำถามและคำตอบ

อินทิกรัล คืออะไร

จะแก้โจทย์ อินทิกรัล ทีละขั้นได้อย่างไร

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน อินทิกรัล มีอะไรบ้าง

ลืมหารด้วยกำลังใหม่
ไม่เปลี่ยนขอบเขตหลังการแทนค่า
ลืม + C ในอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

แบบฝึกหัด อินทิกรัล ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: พหุนาม
ปานกลาง: เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการแทนค่า
ยาก: พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

อนุพันธ์

เรียนต่อด้วย

คอนโวลูชันและระบบ LTI การแปลงลาปลาซ แคลคูลัสหลายตัวแปร วิธีเชิงตัวเลข สมการเชิงอนุพันธ์

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณอินทิกรัล (จำกัดเขตและไม่จำกัดเขต)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

แคลคูลัส 1 คณิตศาสตร์วิศวกรรม สมการเชิงอนุพันธ์คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 แคลคูลัส 2 โจทย์ฝึก AP Calculus

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิต อนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุด ลำดับและอนุกรม แคลคูลัสหลายตัวแปร สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อน วิธีเชิงตัวเลข เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็น สถิติเชิงพรรณนา การแจกแจงปกติ ช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน อินทิกรัล พร้อมเฉลย

ฝึก อินทิกรัล ฟรี ฝึก อินทิกรัล เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร