ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ตารางค่าความจริง, ความสมมูลและวิธีพิสูจน์, ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
pqr(p → r) ↔ (r ∨ q)111?110?101?100?011?010?001?000?

เติมตารางค่าความจริงให้สมบูรณ์ (1 = จริง, 0 = เท็จ) มีกี่แถว N ที่ (p → r) ↔ (r ∨ q) เป็นจริง

(p → r) ↔ (r ∨ q)

คำตอบที่แน่นอน: จำนวนเต็ม ไม่ต้องปัดเศษ

โจทย์ถัดไป →
ฝึก ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ ฟรีฝึก ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายตารางค่าความจริง
  2. ปานกลางความสมมูลและวิธีพิสูจน์
  3. ยากตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล

วิธีแก้โจทย์ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • คิดว่า p → q เป็นเท็จเมื่อ p เป็นเท็จ
  • นับตัวแปรที่ซ้ำสองครั้งเมื่อหาจำนวนแถว
  • สับสนระหว่างการแย้งสลับที่ ¬q → ¬p กับคอนเวิร์ส q → p
  • ให้นิเสธของ ∀x P(x) เป็น ∀x ¬P(x) แทนที่จะเป็น ∃x ¬P(x)
  • ใช้กฎของเดอมอร์แกนโดยไม่สลับ ∧ กับ ∨

สูตรสำคัญ

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

เรียนรู้ ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ ตั้งแต่ต้น

1ประโยคและตัวเชื่อม

ประพจน์คือประโยคที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น “7 เป็นจำนวนเฉพาะ” เราเขียนแทนด้วยตัวอักษร p หรือ q และเขียนค่าความจริงเป็น 1 (จริง) หรือ 0 (เท็จ)

ตัวเชื่อมสร้างสูตรที่ใหญ่ขึ้นจากสูตรที่เล็กกว่า:

  • ¬p (ไม่ p) กลับค่า
  • p ∧ q (และ) เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1
  • p ∨ q (หรือ) เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 เป็นแบบ “หรือ” ที่รวมกรณีทั้งสองไว้ด้วย คือทั้งสองอาจเป็นจริงได้
  • p → q (ถ้า p แล้ว q) เป็น 0 เฉพาะเมื่อ p = 1 และ q = 0
  • p ↔ q (ก็ต่อเมื่อ) เป็น 1 เมื่อ p และ q มีค่าเท่ากัน
pqp → q111100011001

นัยสำคัญทำให้นักเรียนหลายคนแปลกใจ: เมื่อ p เป็นเท็จ p → q เป็นจริงไม่ว่า q จะเป็นอะไร คำสัญญา “ถ้าฝนตก ฉันจะกางร่ม” ผิดสัญญาเฉพาะวันที่ฝนตกแล้วไม่กางร่ม

ตรวจสอบตนเอง p = 0 และ q = 1 ค่าของ p → q เป็นเท่าใด
  1. 0
  2. 1
  3. ขึ้นอยู่กับบริบท
  4. ไม่นิยาม

คำตอบ: 1. นัยจะเป็นเท็จเฉพาะเมื่อเหตุเป็นจริงแต่ผลไม่เป็นจริง (p = 1, q = 0) เมื่อ p = 0 นัยเป็นจริงไม่ว่า q จะเป็นอะไร

2ตารางค่าความจริง

ตารางค่าความจริงแสดงทุกชุดของค่าความจริงของตัวแปร เมื่อมีตัวแปรที่ต่างกัน n ตัวจะมี 2ⁿ แถว: 4 แถวสำหรับสองตัวแปร 8 สำหรับสามตัว 16 สำหรับสี่ตัว ตัวแปรที่ปรากฏสองครั้งยังนับเป็นหนึ่งตัว

ทำจากด้านในออกมาด้านนอก ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง เพื่อให้แต่ละคอลัมน์ใหม่ใช้ตัวเชื่อมเพียงตัวเดียวกับคอลัมน์ที่มีอยู่แล้ว

  1. เขียนรายการตัวแปรและเขียนทั้ง 2ⁿ ชุด โดยเริ่มจากชุดที่เป็น 1 ทั้งหมด
  2. เพิ่มคอลัมน์สำหรับแต่ละประพจน์ย่อย โดยเริ่มจากด้านในสุด
  3. เติมแต่ละคอลัมน์โดยใช้กฎของตัวเชื่อมหลักของคอลัมน์นั้น
  4. อ่านคำตอบจากคอลัมน์สุดท้าย: นับ 1 หรือหาแถวที่โจทย์ถาม
ตรวจสอบตนเอง ตารางค่าความจริงของ (p ∧ q) → (r ∨ p) มีกี่แถว
  1. 16
  2. 4
  3. 6
  4. 8

คำตอบ: 8. สูตรมีตัวแปรที่ต่างกันสามตัว คือ p, q และ r ดังนั้น 2³ = 8 แถว p ปรากฏสองครั้งแต่เป็นตัวแปรเดียว ส่วน 16 คือ 2⁴ สำหรับสี่ครั้งที่ปรากฏ

3ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ตารางค่าความจริงของ (p → q) ∧ ¬q เป็นจริงในกี่แถว

1

ตัวแปรและแถว

ตัวแปรสองตัว คือ p และ q จึงมี 4 แถว: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)

2

คอลัมน์ p → q

เป็น 0 เฉพาะในแถว p = 1, q = 0:

p → q: 1, 0, 1, 1
3

คอลัมน์ ¬q

¬q: 0, 1, 0, 1
4

คอนจังก์ชัน

ทั้งสองคอลัมน์ต้องเป็น 1 ซึ่งเกิดขึ้นเฉพาะแถวสุดท้าย คือ p = 0 และ q = 0

(p → q) ∧ ¬q: 0, 0, 0, 1
คำตอบ

สูตรเป็นจริงใน 1 แถว คือแถว p = 0, q = 0 นี่คือเหตุผลที่ p → q และ ¬q รวมกันได้ ¬p (โมดัสโทลเลนส์)

4ความสมมูลและวิธีพิสูจน์

สูตรสองสูตรสมมูล (≡) กันเมื่อคอลัมน์ในตารางค่าความจริงเหมือนกันทุกแถว ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กฎที่ใช้บ่อยที่สุด:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

กฎเหล่านี้เป็นพื้นฐานของวิธีพิสูจน์ การพิสูจน์ p → q ด้วยการแย้งสลับที่คือพิสูจน์ ¬q → ¬p แทน ซึ่งสมมูลกัน การพิสูจน์ด้วยข้อขัดแย้งสมมติ p ∧ ¬q ซึ่งเป็นวิธีเดียวที่นัยจะผิดได้ แล้วหาข้อสรุปที่เป็นไปไม่ได้

ระวัง: คอนเวิร์ส q → p และอินเวิร์ส ¬p → ¬q ไม่สมมูลกับ p → q

ตรวจสอบตนเอง สูตรใดสมมูลกับ ¬(p ∧ q)
  1. p ∨ q
  2. ¬p ∧ q
  3. ¬p ∧ ¬q
  4. ¬p ∨ ¬q

คำตอบ: ¬p ∨ ¬q. ตามกฎของเดอมอร์แกน ∧ เปลี่ยนเป็น ∨ และทั้งสองส่วนถูกใส่นิเสธ ¬p ∧ ¬q คือนิเสธของ p ∨ q ซึ่งเป็นประโยคอื่น: เป็นเท็จเมื่อ p และ q จริงเพียงตัวเดียว ขณะที่ ¬(p ∧ q) เป็นจริง

5ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล

เมื่อตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ ∀x P(x) หมายถึง “P เป็นจริงสำหรับทุก x” และ ∃x P(x) หมายถึง “P เป็นจริงสำหรับ x อย่างน้อยหนึ่งตัว” นิเสธจะสลับตัวบ่งปริมาณ:

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

ย้ายนิเสธเข้าด้านในทีละขั้น ด้านในใช้กฎของประพจน์ ตัวอย่างเช่น ¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)): “ไม่ใช่ทุก P เป็น Q” หมายถึง “มี P บางตัวที่ไม่เป็น Q”

การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 รูปแบบที่สมเหตุสมผลแบบดั้งเดิมคือโมดัสโพเนนส์ (p → q, p ดังนั้น q) โมดัสโทลเลนส์ (p → q, ¬q ดังนั้น ¬p) และซิลโลจิซึมสมมุติฐาน (p → q, q → r ดังนั้น p → r)

แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แต่บทสรุปเป็น 0 คือตัวอย่างค้าน การยืนยันผล (p → q, q ดังนั้น p) ไม่สมเหตุสมผล: แถว p = 0, q = 1 คือตัวอย่างค้าน

ตรวจสอบตนเอง นิเสธของ “นักเรียนทุกคนสอบผ่าน” ∀x P(x) คืออะไร
  1. ¬P(x) สำหรับนักเรียน x คนหนึ่งที่กำหนด
  2. ∀x ¬P(x): ไม่มีนักเรียนคนใดสอบผ่าน
  3. ∃x P(x): มีนักเรียนบางคนสอบผ่าน
  4. ∃x ¬P(x): มีนักเรียนบางคนสอบไม่ผ่าน

คำตอบ: ∃x ¬P(x): มีนักเรียนบางคนสอบไม่ผ่าน. นักเรียนหนึ่งคนที่สอบตกก็เพียงพอที่จะทำให้ “นักเรียนทุกคนสอบผ่าน” เป็นเท็จ “ไม่มีนักเรียนคนใดสอบผ่าน” แรงกว่านิเสธมาก

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • คิดว่า p → q เป็นเท็จเมื่อ p เป็นเท็จ ที่จริงมันเป็นเท็จเฉพาะเมื่อ p = 1 และ q = 0
  • นับตัวแปรที่ซ้ำสองครั้งเมื่อหาจำนวนแถว
  • สับสนระหว่างการแย้งสลับที่ ¬q → ¬p กับคอนเวิร์ส q → p หรืออินเวิร์ส ¬p → ¬q
  • ให้นิเสธของ ∀x P(x) เป็น ∀x ¬P(x): ตัวบ่งปริมาณต้องเปลี่ยนเป็น ∃
  • เขียน ¬(p ∧ q) เป็น ¬p ∧ ¬q: กฎของเดอมอร์แกนต้องสลับตัวเชื่อมด้วย
ตรวจสอบตนเอง ข้อใดคือการแย้งสลับที่ของ “ถ้า n² เป็นจำนวนคู่ แล้ว n เป็นจำนวนคู่”
  1. n² เป็นจำนวนคู่และ n เป็นจำนวนคี่
  2. ถ้า n เป็นจำนวนคี่ แล้ว n² เป็นจำนวนคี่
  3. ถ้า n เป็นจำนวนคู่ แล้ว n² เป็นจำนวนคู่
  4. ถ้า n² เป็นจำนวนคี่ แล้ว n เป็นจำนวนคี่

คำตอบ: ถ้า n เป็นจำนวนคี่ แล้ว n² เป็นจำนวนคี่. สลับสองส่วนและใส่นิเสธทั้งคู่: ไม่ (n เป็นคู่) → ไม่ (n² เป็นคู่) “ถ้า n เป็นจำนวนคู่ แล้ว n² เป็นจำนวนคู่” คือคอนเวิร์ส ส่วนตัวเลือกสุดท้ายคือสิ่งที่การพิสูจน์ด้วยข้อขัดแย้งสมมติ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ตารางค่าความจริง คุณหาจำนวนแถว นับแถวที่สูตรเป็นจริง หรือคลิกแถวเดียวที่ทำให้สูตรเป็นจริงหรือเท็จ
  • ปานกลาง: ความสมมูลและวิธีพิสูจน์ คุณตัดสินว่าสูตรเป็นซ้ำซ้อน ขัดแย้ง หรือ contingency เลือกสูตรที่สมมูลกัน หรือประโยคที่ต้องพิสูจน์ในการพิสูจน์ด้วยการแย้งสลับที่หรือด้วยข้อขัดแย้ง
  • ยาก: ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล คุณหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ เลือกบทสรุปที่ตามมาจากสมมติฐาน คลิกแถวตัวอย่างค้านของการอ้างเหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผล หรือนับแถวที่เป็นจริงในตารางสี่ตัวแปร

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
pq¬(p ∨ q) → q11100100

ตารางค่าความจริงมีแถวเดียวพอดีที่ทำให้ ¬(p ∨ q) → q เป็นเท็จ ให้คลิกแถวนั้น

¬(p ∨ q) → q
  1. 1p = 1, q = 1
  2. 2p = 1, q = 0
  3. 3p = 0, q = 1
  4. 4p = 0, q = 0
แสดงคำใบ้
  1. a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 ¬a กลับค่า a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0
  2. หาตัวเชื่อมหลักก่อน: สองข้างของมันต้องเป็นอะไรเพื่อให้สูตรทั้งหมดเป็น 0
  3. ให้แต่ละส่วนมีคอลัมน์ของตัวเอง: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q
แสดงคำตอบและคำอธิบาย

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬(p ∨ q) = 1, ¬(p ∨ q) → q = 0

แถว

p = 0, q = 0 → ¬(p ∨ q) → q = 0

คำตอบ

p = 0, q = 0
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
(b → a) ∧ (c → a)b → (c → a)b ∧ (c → a)(b → c) → a

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ (b ∧ c) → a ให้คลิกสูตรนั้น

(b ∧ c) → a
  1. 1(b → a) ∧ (c → a)
  2. 2b → (c → a)
  3. 3b ∧ (c → a)
  4. 4(b → c) → a
แสดงคำใบ้
  1. สูตรที่สมมูลกันมีค่าตรงกันทุกแถวของตารางค่าความจริง แถวเดียวที่ต่างกันก็ตัดตัวเลือกนั้นออกได้
  2. ลองแถวที่ทำให้ (b ∧ c) → a เป็น 0 แล้วตรวจว่าตัวเลือกใดเป็น 0 ด้วยในแถวนั้น
  3. เอ็กซ์พอร์เทชัน: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c) ทั้งสองเป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1, b = 1 และ c = 0
แสดงคำตอบและคำอธิบาย

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

เอ็กซ์พอร์เทชัน: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c) ทั้งสองเป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1, b = 1 และ c = 0
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0

คำตอบ

b → (c → a)

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

ตัวอย่างที่ 3ยาก
pp ∧ ¬r¬pr

กำหนดสมมติฐาน (q ∧ p) → r; q; ¬r บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น

(q ∧ p) → rq¬r
  1. 1p
  2. 2p ∧ ¬r
  3. 3¬p
  4. 4r
แสดงคำใบ้
  1. บทสรุปตามมาเมื่อเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1
  2. หาแถวที่ทำให้สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แล้วทดสอบแต่ละตัวเลือกในแถวเหล่านั้น
  3. นี่คือกฎมาตรฐาน: โมดัสโทลเลนส์กับคอนจังก์ชัน
แสดงคำตอบและคำอธิบาย

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง

p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, p ∧ ¬r = 0, ¬p = 1, r = 0

สรุป

¬p (โมดัสโทลเลนส์กับคอนจังก์ชัน)

คำตอบ

¬p

คำถามและคำตอบ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ คืออะไร

ตัวเชื่อมสร้างสูตรที่ใหญ่ขึ้นจากสูตรที่เล็กกว่า:

นัยสำคัญทำให้นักเรียนหลายคนแปลกใจ: เมื่อ p เป็นเท็จ p → q เป็นจริงไม่ว่า q จะเป็นอะไร คำสัญญา “ถ้าฝนตก ฉันจะกางร่ม” ผิดสัญญาเฉพาะวันที่ฝนตกแล้วไม่กางร่ม

จะแก้โจทย์ ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ มีอะไรบ้าง
  • คิดว่า p → q เป็นเท็จเมื่อ p เป็นเท็จ
  • นับตัวแปรที่ซ้ำสองครั้งเมื่อหาจำนวนแถว
  • สับสนระหว่างการแย้งสลับที่ ¬q → ¬p กับคอนเวิร์ส q → p
  • ให้นิเสธของ ∀x P(x) เป็น ∀x ¬P(x) แทนที่จะเป็น ∃x ¬P(x)
  • ใช้กฎของเดอมอร์แกนโดยไม่สลับ ∧ กับ ∨
แบบฝึกหัด ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ตารางค่าความจริง
  • ปานกลาง: ความสมมูลและวิธีพิสูจน์
  • ยาก: ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ พร้อมเฉลย
ฝึก ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ ฟรีฝึก ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร