การหาค่าเหมาะที่สุด: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การหาค่าเหมาะที่สุด ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: พื้นที่หรือปริมาตรสูงสุด, ต้นทุนหรือวัสดุต่ำสุด, กำไรและรายได้

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
แม่น้ำxxy

เกษตรกรมีรั้ว 240 m สำหรับล้อมที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าริมแม่น้ำที่ตรง ไม่ต้องล้อมรั้วด้านที่ติดแม่น้ำ จงหาพื้นที่มากที่สุด A ที่ล้อมได้

240 m2x + y = 240
m²
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การหาค่าเหมาะที่สุด ฟรีฝึก การหาค่าเหมาะที่สุด เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายพื้นที่หรือปริมาตรสูงสุด
  2. ปานกลางต้นทุนหรือวัสดุต่ำสุด
  3. ยากกำไรและรายได้

สูตรสำคัญ

วิธีการ
เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

เรียนรู้ การหาค่าเหมาะที่สุด ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: อนุพันธ์

1การหาค่าเหมาะที่สุดคืออะไร

การหาค่าเหมาะที่สุด (optimization) หมายถึงการหาค่าที่ดีที่สุด: พื้นที่มากที่สุดสำหรับความยาวรั้วที่กำหนด โลหะน้อยที่สุดสำหรับกระป๋อง หรือกำไรสูงสุด

ปริมาณที่คุณต้องการให้มากที่สุดหรือน้อยที่สุดขึ้นกับตัวแปรหนึ่งตัว เช่น ความกว้าง x ของทุ่ง

นึกภาพกราฟของมัน ที่ยอดเขาและที่ก้นหุบเขา กราฟแบนชั่วขณะ ความชันตรงนั้นจึงเป็นศูนย์

นั่นคือแนวคิดสำคัญ: ที่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด อนุพันธ์เป็น 0 คุณหา x ที่ดีที่สุดโดยแก้ Q′(x) = 0

ตรวจสอบตนเอง พื้นที่ A(x) ของทุ่งมีค่ามากที่สุดที่ x = 12 A′(12) เป็นเท่าใด
  1. 0
  2. จำนวนบวก
  3. จำนวนลบ
  4. เท่ากับ A(12)

คำตอบ: 0. ที่ยอดของกราฟ เส้นสัมผัสอยู่ในแนวนอน ความชันจึงเป็น 0 ความชันบวกหมายความว่าพื้นที่ยังเพิ่มอยู่

2เป้าหมายและเงื่อนไขบังคับ

โจทย์การหาค่าเหมาะที่สุดทุกข้อมีสองส่วน ตั้งชื่อก่อนคำนวณอะไร

  • เป้าหมาย: ปริมาณที่ต้องการทำให้มากที่สุดหรือน้อยที่สุด เช่น พื้นที่ A หรือต้นทุน C
  • เงื่อนไขบังคับ (constraint): เงื่อนไขคงที่ เช่น ความยาวรวมของรั้ว หรือปริมาตรที่กระป๋องต้องจุ

เป้าหมายมักมีสองตัวแปร เช่น A = x · y ยังหาอนุพันธ์ไม่ได้

ใช้เงื่อนไขบังคับเขียน y ในรูปของ x แล้วเป้าหมายจะขึ้นกับ x เท่านั้น

ตัวอย่าง: สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 20 m มี 2x + 2y = 20 ดังนั้น y = 10 − x และ A(x) = x(10 − x) = 10x − x²

วาดภาพร่างก่อนและเขียนความยาวทุกด้านลงไป ความผิดพลาดส่วนใหญ่เกิดที่เงื่อนไขบังคับ

ตรวจสอบตนเอง ทุ่งริมแม่น้ำล้อมรั้วสามด้านด้วยรั้ว 40 m: สองด้านยาว x และหนึ่งด้าน y ขนานกับแม่น้ำ เงื่อนไขบังคับคืออะไร
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

คำตอบ: 2x + y = 40. มีรั้วสามช่วง: x, x และ y ด้านแม่น้ำไม่ต้องใช้รั้ว 2x + 2y จะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเต็มที่ล้อมรั้วสี่ด้าน

3โจทย์ต้นทุนและกำไร

ในโจทย์ธุรกิจ เป้าหมายคือกำไร: รายได้ลบต้นทุน

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

ในที่นี้ q คือจำนวนหน่วยที่ขาย และ p คือราคาต่อหน่วย ถ้าราคาขึ้นกับ q ให้ใส่สูตรนั้นใน R ก่อน

ตัวอย่าง: ราคา p = 60 − q และต้นทุน C = 100 + 30q

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

ราคาที่ดีที่สุดจึงเป็น p = 60 − 15 = €45 อ่านคำถามอย่างระมัดระวัง: อาจถาม q, p หรือกำไร P เอง

ตรวจสอบตนเอง สินค้าขายหน่วยละ €40 ต้นทุนของ q หน่วยคือ C = 100 + 10q + 0.5q² ยูโร ผลผลิต q ใดให้กำไรสูงสุด
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

คำตอบ: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0.5q² ดังนั้น P′ = 30 − q = 0 และ q = 30 การลืม 2 เมื่อหาอนุพันธ์ของ 0.5q² ได้ 60

4วิธีทำทีละขั้น

  1. วาดภาพร่างและตั้งชื่อตัวแปร
  2. เขียนเป้าหมาย Q (พื้นที่ ต้นทุน กำไร) และเงื่อนไขบังคับ
  3. ใช้เงื่อนไขบังคับเขียน Q เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว Q(x)
  4. หาอนุพันธ์และแก้ Q′(x) = 0
  5. ตรวจว่าเป็นจุดชนิดที่ถูกต้อง: Q″ < 0 สำหรับค่าสูงสุด Q″ > 0 สำหรับค่าต่ำสุด
  6. ตอบคำถามที่ถาม: x ด้านอื่น หรือค่าที่ดีที่สุดของ Q เอง พร้อมหน่วย

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

เกษตรกรมีรั้ว 60 m สำหรับทุ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าริมแม่น้ำตรง ไม่ต้องใช้รั้วตามแม่น้ำ จงหาด้านที่ขนานกับแม่น้ำ y และพื้นที่มากที่สุด A

1

ภาพร่างและเงื่อนไขบังคับ

xxyA

แม่น้ำอยู่ด้านบน จึงต้องใช้รั้วเพียงสามด้าน: สองด้าน x และหนึ่งด้าน y

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

พื้นที่ในตัวแปรเดียว

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

เป็นค่าสูงสุดหรือไม่

A″(x) = −4 < 0

อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ ดังนั้น x = 15 m ให้พื้นที่มากที่สุด

xA(15, 450)1530
5

ด้านที่เหลือและพื้นที่

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

ตรวจสอบคำตอบ

ลองค่าทั้งสองข้าง x = 14 ให้ 14 · 32 = 448 m² และ x = 16 ให้ 16 · 28 = 448 m² ทั้งสองน้อยกว่า 450 m²

คำตอบ

y = 30 m และพื้นที่มากที่สุดคือ A = 450 m²

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ตอบเป็นปริมาณที่ผิด: โจทย์ถาม y แต่คุณตอบ x
  • หาอนุพันธ์ของเป้าหมายที่ยังมีสองตัวแปร ใช้เงื่อนไขบังคับก่อน
  • เขียนเงื่อนไขบังคับผิด เช่น ล้อมรั้วด้านแม่น้ำด้วย
  • ไม่ตรวจว่าจุดนั้นเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
  • ลืมหน่วย หรือให้พื้นที่เป็น m แทน m²
ตรวจสอบตนเอง ด้วยรั้ว 40 m ริมแม่น้ำ (2x + y = 40) ความกว้างที่ดีที่สุดคือ x = 10 m โจทย์ถามด้านที่ขนานกับแม่น้ำ y คุณตอบอะไร
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

คำตอบ: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m การตอบ 10 m ได้ x แทน y และ 200 m² คือพื้นที่ ไม่ใช่ด้าน

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: พื้นที่หรือปริมาตรมากที่สุด เช่น ทุ่งริมแม่น้ำ หรือคอกที่แบ่งด้วยรั้วเพิ่ม
  • ปานกลาง: ต้นทุนหรือวัสดุน้อยที่สุด เช่น กระป๋องปิด (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) หรือรั้วที่มีสองราคาต่อเมตร
  • ยาก: กำไรและรายได้ สร้าง P = R − C แก้ P′(q) = 0 แล้วหาราคาหรือกำไรสูงสุด

ตรวจอย่างรวดเร็ว: ใส่ค่าที่สูงกว่าและต่ำกว่าคำตอบของคุณเล็กน้อยใน Q ทั้งสองควรแย่กว่า

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
x18 cm18 cmx

ทำกล่องเปิดจากแผ่นกระดาษแข็งสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 18 cm × 18 cm โดยตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว x ที่เท่ากันออกจากมุมทั้งสี่ แล้วพับด้านข้างขึ้น จงหาปริมาตรมากที่สุดที่เป็นไปได้ V

18 cm × 18 cm

จงหา V (cm³)

แสดงคำใบ้
  1. ฐานมีขนาด (18 − 2x) คูณ (18 − 2x) และสูง x
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. มีเพียงรากที่ 0 < x < 9 เท่านั้นที่สมเหตุสมผล
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ปริมาตรเป็นฟังก์ชันของ x

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

รากที่มากกว่าให้ด้านของฐาน ≤ 0 จึงอยู่นอกช่วงที่เป็นไปได้

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 หรือ x = 9
x = 3 cm

ปริมาตร

V = 3·12·12 = 432 cm³

คำตอบ

V = 432 cm³
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
rh

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 400 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 400 cm³

จงหา A (cm²)

แสดงคำใบ้
  1. ใช้ปริมาตรกำจัด h: πr²h = 400 ดังนั้น h = 400/(πr²)
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

คำตอบ

A = 300.5 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

ตัวอย่างที่ 3ยาก
p (€)R(p)10ปัจจุบัน

โรงละครขายตั๋ว 580 ใบต่อรอบ ใบละ €10 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 20 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 20 ใบ) จงหารายได้สูงสุด R ต่อรอบ

580 × €1020 / €1

จงหา R (€)

แสดงคำใบ้
  1. จำนวนตั๋วที่ขายได้ที่ราคา p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −40 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 780/40 = €19.5

รายได้สูงสุด

n = 780 − 20·19.5 = 390
R = 19.5·390 = €7605

คำตอบ

R = €7605

คำถามและคำตอบ

การหาค่าเหมาะที่สุด คืออะไร

การหาค่าเหมาะที่สุด (optimization) หมายถึงการหาค่าที่ดีที่สุด: พื้นที่มากที่สุดสำหรับความยาวรั้วที่กำหนด โลหะน้อยที่สุดสำหรับกระป๋อง หรือกำไรสูงสุด

ปริมาณที่คุณต้องการให้มากที่สุดหรือน้อยที่สุดขึ้นกับตัวแปรหนึ่งตัว เช่น ความกว้าง x ของทุ่ง

จะแก้โจทย์ การหาค่าเหมาะที่สุด ทีละขั้นได้อย่างไร

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การหาค่าเหมาะที่สุด มีอะไรบ้าง
  • แต่ละด้านของฐานเสียสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปทั้งสองปลาย ดังนั้นด้านของฐานคือ a − 2x และ b − 2x ไม่ใช่ a − x และ b − x
  • กระป๋องปิด: ต้องนับทั้งฝาบนและก้น A = 2πr² + 2πrh
  • นั่นคือรายได้ที่ราคาปัจจุบัน ให้หาราคาที่ R′(p) = 0 ก่อน
แบบฝึกหัด การหาค่าเหมาะที่สุด ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: พื้นที่หรือปริมาตรสูงสุด
  • ปานกลาง: ต้นทุนหรือวัสดุต่ำสุด
  • ยาก: กำไรและรายได้

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

อนุพันธ์

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

แคลคูลัส 1โจทย์ฝึก AP Calculus

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์อินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การหาค่าเหมาะที่สุด พร้อมเฉลย
ฝึก การหาค่าเหมาะที่สุด ฟรีฝึก การหาค่าเหมาะที่สุด เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร