ลำดับและอนุกรม: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: ลำดับและอนุกรม คืออะไร

ลำดับเลขคณิตบวกผลต่างเท่ากัน d ทุกขั้น: 3, 7, 11, 15, … มี d = 4 สำหรับ 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 และ S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820 สังเกต n − 1: จากพจน์แรกถึงพจน์ที่ 20 มีเพียง 19 ขั้น

Q: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ลำดับและอนุกรม มีอะไรบ้าง

ใช้ n แทน n − 1 ใน aₙ = a₁ + (n − 1)d หรือ a₁rⁿ⁻¹ ใช้สูตรผลบวกอนันต์เมื่อ |r| ≥ 1 หรือด้วยพจน์แรกที่ผิด สรุปการลู่เข้าเพียงเพราะพจน์ลู่เข้าสู่ 0 กลับค่าลิมิตของการทดสอบอัตราส่วน: R = lim |cₖ/cₖ₊₁| ไม่ใช่ส่วนกลับของมัน ลืมแฟกทอเรียลหรือเครื่องหมายสลับในพหุนามเทย์เลอร์

Q: แบบฝึกหัด ลำดับและอนุกรม ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต ปานกลาง: การลู่เข้าและอนุกรมกำลัง ยาก: พหุนามเทย์เลอร์และแมคคลอริน โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด ลำดับและอนุกรม ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต, การลู่เข้าและอนุกรมกำลัง, พหุนามเทย์เลอร์และแมคคลอริน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

จงหาผลบวก S₈ ของ 8 พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต 5, 7.5, 11.25, …

a₁ = 5r = 1.5n = 8

โจทย์ถัดไป →

ฝึก ลำดับและอนุกรม ฟรี ฝึก ลำดับและอนุกรม เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
ปานกลางการลู่เข้าและอนุกรมกำลัง
ยากพหุนามเทย์เลอร์และแมคคลอริน

วิธีแก้โจทย์ลำดับและอนุกรม

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ n แทน n − 1 ใน aₙ = a₁ + (n − 1)d หรือ a₁rⁿ⁻¹
ใช้สูตรผลบวกอนันต์เมื่อ |r| ≥ 1 หรือด้วยพจน์แรกที่ผิด
สรุปการลู่เข้าเพียงเพราะพจน์ลู่เข้าสู่ 0
กลับค่าลิมิตของการทดสอบอัตราส่วน: R = lim |cₖ/cₖ₊₁| ไม่ใช่ส่วนกลับของมัน
ลืมแฟกทอเรียลหรือเครื่องหมายสลับในพหุนามเทย์เลอร์

สูตรสำคัญ

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

เรียนรู้ ลำดับและอนุกรม ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ลิมิต, อนุพันธ์

1ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

ลำดับคือรายการของจำนวน a₁, a₂, a₃, … และอนุกรมคือผลบวกของมัน มีสองชนิดที่ออกสอบทุกครั้ง

ลำดับเลขคณิตบวกผลต่างเท่ากัน d ทุกขั้น: 3, 7, 11, 15, … มี d = 4

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

สำหรับ 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 และ S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820 สังเกต n − 1: จากพจน์แรกถึงพจน์ที่ 20 มีเพียง 19 ขั้น

ลำดับเรขาคณิตคูณด้วยอัตราส่วนเท่ากัน r ทุกขั้น: 2, 6, 18, … มี r = 3

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)

ตรวจสอบตนเอง พจน์ที่ 10 ของ 5, 8, 11, 14, … คือเท่าใด

คำตอบ: 32. d = 3 ดังนั้น a₁₀ = 5 + 9·3 = 32 การใช้ 10·3 แทน 9·3 ได้ 35

2อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

บวกพจน์ของ 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + … ต่อไป ผลบวกจะค่อย ๆ เข้าใกล้ 4 โดยไม่เคยเกิน

เมื่อ |r| < 1 พจน์ rⁿ ใน Sₙ ลดเหลือ 0 และผลบวกอนันต์มีค่า:

S = a₁/(1 − r), ใช้ได้เฉพาะเมื่อ |r| < 1

ในที่นี้ a₁ คือพจน์แรกของผลบวก สำหรับ Σ_k=2^∞ 8·(1/2)ᵏ พจน์แรกคือ 8·(1/2)² = 2 ดังนั้น S = 2/(1 − 1/2) = 4

เมื่อ |r| ≥ 1 พจน์ไม่ลดลงและอนุกรมไม่มีผลบวก: อนุกรมลู่ออก

ตรวจสอบตนเอง Σ_k=0^∞ 3·(1/4)ᵏ เท่ากับเท่าใด

คำตอบ: 4. พจน์แรก (k = 0) คือ 3 และ r = 1/4 ดังนั้น S = 3/(1 − 1/4) = 4 การใช้ 1 + r ที่ตัวส่วนได้ 2.4

3อนุกรมลู่เข้าหรือไม่

อนุกรมส่วนใหญ่ไม่มีสูตรผลบวกอย่างง่าย แต่ยังตัดสินได้ว่าผลบวกมีค่าจำกัดหรือไม่ ใช้การทดสอบตามลำดับนี้:

การทดสอบพจน์ที่ n: ถ้าพจน์ไม่ลู่เข้าสู่ 0 อนุกรมลู่ออก Σ k/(k + 1) ลู่ออกเพราะพจน์ลู่เข้าสู่ 1
อนุกรมมาตรฐาน: Σ1/kᵖ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ p > 1 (ดังนั้น Σ1/k อนุกรมฮาร์มอนิก ลู่ออก) Σrᵏ ลู่เข้าเฉพาะเมื่อ |r| < 1
การเปรียบเทียบ: 1/(k² + 3) น้อยกว่า 1/k² ดังนั้น Σ1/(k² + 3) ก็ลู่เข้าด้วย
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k| L < 1 ลู่เข้า L > 1 ลู่ออก L = 1 ไม่ให้คำตอบ ใช้กับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
อนุกรมสลับ: Σ(−1)ᵏ/k ลู่เข้า เพราะพจน์สลับเครื่องหมายและลดลงสู่ 0

ตัวอย่าง: สำหรับ Σ k/2ᵏ อัตราส่วนคือ ((k + 1)/k)·(1/2) ซึ่งลู่เข้าสู่ L = 1/2 < 1 ดังนั้นลู่เข้า

ตรวจสอบตนเอง อนุกรมใดต่อไปนี้ลู่ออก

Σ (2/3)ᵏ
Σ 1/k²
Σ 1/√k
Σ 3ᵏ/k!

คำตอบ: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k^1/2 เป็น p-อนุกรมที่ p = 1/2 ≤ 1 ดังนั้นลู่ออก 1/k² มี p = 2, (2/3)ᵏ เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ r < 1 และการทดสอบอัตราส่วนให้ L = 0 สำหรับ 3ᵏ/k!

4อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า

อนุกรมกำลัง Σ c_k(x − x₀)ᵏ คือพหุนามที่ไม่มีที่สิ้นสุด ลู่เข้าสำหรับ x ที่ใกล้จุดศูนย์กลาง x₀ มากพอ

การทดสอบอัตราส่วนกับทั้งพจน์ให้รัศมีการลู่เข้า R: อนุกรมลู่เข้าสำหรับ |x − x₀| < R และลู่ออกสำหรับ |x − x₀| > R

R = lim |c_k/c_k+1|

ตัวอย่าง: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) มี c_k/c_k+1 = 3(k + 1)/k ซึ่งลู่เข้าสู่ 3 ดังนั้น R = 3 และอนุกรมลู่เข้าสำหรับ −3 < x < 3

ที่จุดปลายทั้งสอง การทดสอบไม่ให้คำตอบ ให้ตรวจแยกต่างหากถ้าโจทย์ถามช่วงเต็ม

5พหุนามเทย์เลอร์และแมคคลอริน

ใกล้จุด a ฟังก์ชันเรียบดูเหมือนพหุนาม พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี n ตรงกับค่าและอนุพันธ์ n อันดับแรกที่ a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

สำหรับ a = 0 เรียกว่าพหุนามแมคคลอริน จงจำอนุกรมเหล่านี้ให้ขึ้นใจ:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …

ยิ่งใช้พจน์มาก พหุนามยิ่งอยู่ใกล้ฟังก์ชันได้นานขึ้น

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงประมาณ e^0.5 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี 3 และหาขอบเขตของความคลาดเคลื่อน

เขียนพหุนาม

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6

แทน x = 0.5

P₃(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.020833 = 1.645833

ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์

ความคลาดเคลื่อนมากที่สุด M·|x|⁴/4! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของอนุพันธ์อันดับ 4 คือ eᵗ ระหว่าง 0 และ 0.5: M = e^0.5 ≈ 1.6487

|R₃| ≤ 1.6487·0.5⁴/24 = 0.0043

เปรียบเทียบ

เครื่องคิดเลขให้ e^0.5 = 1.648721 ดังนั้นความคลาดเคลื่อนจริงคือ 0.0029 อยู่ในขอบเขต

คำตอบ

e^0.5 ≈ 1.6458 โดยมีความคลาดเคลื่อนมากที่สุด 0.0043

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและคำถามในข้อสอบ

ใช้ n แทน n − 1 ขั้นสำหรับพจน์ที่ n
เขียน a/(1 − r) ด้วยพจน์แรกที่ผิดเมื่อผลบวกไม่ได้เริ่มที่ k = 0
สรุปว่าอนุกรมลู่เข้าเพียงเพราะพจน์ลู่เข้าสู่ 0 Σ1/k คือตัวอย่างค้าน
ลืมแฟกทอเรียลในพหุนามเทย์เลอร์ หรือเครื่องหมายลบของ sin และ cos
ใช้ |x|ⁿ/n! แทน |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ในขอบเขตความคลาดเคลื่อน

ง่าย: ผลบวกของลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต ปานกลาง: การตัดสินการลู่เข้า การทดสอบอัตราส่วน และรัศมีการลู่เข้า ยาก: พหุนามเทย์เลอร์ สัมประสิทธิ์ของมัน และขอบเขตความคลาดเคลื่อน

ตรวจสอบตนเอง สัมประสิทธิ์ของ x³ ในอนุกรมแมคคลอรินของ sin x คือเท่าใด

1/3
1/6
−1/3
−1/6

คำตอบ: −1/6. sin x = x − x³/3! + … และ 3! = 6 ดังนั้นสัมประสิทธิ์คือ −1/6 การลืมเครื่องหมายลบได้ 1/6

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

ลำดับเรขาคณิต aₙ = 5·0.85ⁿ⁻¹ ลดลง จงหาดัชนีแรก n ที่ aₙ < 0.2

a₁ = 5r = 0.85ε = 0.2

จงหา n

แสดงคำใบ้

แก้ 5·0.85ⁿ⁻¹ < 0.2 ด้วยลอการิทึม
ln 0.85 เป็นลบ: การหารด้วยค่านี้ทำให้อสมการกลับทิศ
n − 1 > ln(0.2/5)/ln 0.85 = 19.81

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต: ลำดับเลขคณิตบวกผลต่างเท่ากัน d ทุกขั้น aₙ = a₁ + (n − 1)d และผลบวกคือ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 ลำดับเรขาคณิตคูณด้วยอัตราส่วนเท่ากัน r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ โดย Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พจน์ลดลงเร็วพอที่ผลบวกอนันต์จะมีค่า: S = a₁/(1 − r) โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก

อสมการ

5·0.85ⁿ⁻¹ < 0.2 → 0.85ⁿ⁻¹ < 0.04

ลอการิทึม

(n − 1)·ln 0.85 < ln 0.04 → n − 1 > 19.81

n = 21

ตรวจสอบ

a₂₀ = 0.227997 ≥ 0.2

a₂₁ = 0.193798 < 0.2

คำตอบ

n = 21

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

จงหาผลบวก S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3))

a_k = 12/(k(k + 3))

จงหา S

แสดงคำใบ้

เศษส่วนย่อย: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))
เขียนสองสามพจน์แรกออกมา: ส่วนใหญ่ตัดกันหมด (ผลบวกแบบเทเลสโคปิก)
สิ่งที่เหลืออยู่คือ (12/3)·(1 + … + 1/3)

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เศษส่วนย่อย

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

ยกเลิก

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

คำตอบ

S = 7.333

ตัวอย่างที่ 3ยาก

f(x) = cos x ถูกประมาณที่ x = 1 ด้วยพหุนามแมคคลอรินดีกรี n ด้วยขอบเขตของลากรองจ์ M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! และ M = 1 จงหาดีกรีที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1 × 10⁻⁶

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

จงหา n

แสดงคำใบ้

ลอง n = 1, 2, 3, … และคำนวณ 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! ทุกครั้ง
แฟกทอเรียลโตเร็ว ดังนั้นไม่กี่ขั้นก็เพียงพอ
หยุดที่ n แรกที่ขอบเขตต่ำกว่า 1 × 10⁻⁶

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

ขอบเขตสำหรับ n ที่เพิ่มขึ้น

n = 8: 2.756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 9: 2.756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

ดีกรีที่น้อยที่สุด

n = 9

คำตอบ

n = 9

คำถามและคำตอบ

ลำดับและอนุกรม คืออะไร

ลำดับเลขคณิตบวกผลต่างเท่ากัน d ทุกขั้น: 3, 7, 11, 15, … มี d = 4

จะแก้โจทย์ ลำดับและอนุกรม ทีละขั้นได้อย่างไร

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ลำดับและอนุกรม มีอะไรบ้าง

ใช้ n แทน n − 1 ใน aₙ = a₁ + (n − 1)d หรือ a₁rⁿ⁻¹
ใช้สูตรผลบวกอนันต์เมื่อ |r| ≥ 1 หรือด้วยพจน์แรกที่ผิด
สรุปการลู่เข้าเพียงเพราะพจน์ลู่เข้าสู่ 0
กลับค่าลิมิตของการทดสอบอัตราส่วน: R = lim |cₖ/cₖ₊₁| ไม่ใช่ส่วนกลับของมัน
ลืมแฟกทอเรียลหรือเครื่องหมายสลับในพหุนามเทย์เลอร์

แบบฝึกหัด ลำดับและอนุกรม ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
ปานกลาง: การลู่เข้าและอนุกรมกำลัง
ยาก: พหุนามเทย์เลอร์และแมคคลอริน

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ลิมิต อนุพันธ์

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 แคลคูลัส 2 วิธีเชิงตัวเลข โจทย์ฝึก AP Calculus

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิต อนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุด อินทิกรัล แคลคูลัสหลายตัวแปร สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อน วิธีเชิงตัวเลข เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็น สถิติเชิงพรรณนา การแจกแจงปกติ ช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ลำดับและอนุกรม พร้อมเฉลย