การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ความชันและจุดตัดแกน, สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์, การทำนาย

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
xy242352445555660760xy2465060

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงหาจุดตัดแกน a

n = 6
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ ฟรีฝึก การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายความชันและจุดตัดแกน
  2. ปานกลางสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
  3. ยากการทำนาย

สูตรสำคัญ

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

เรียนรู้ การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: สถิติเชิงพรรณนา

1การถดถอยคืออะไร

คุณวัดปริมาณสองอย่างสำหรับแต่ละกรณี เช่น x = ชั่วโมงที่เรียน และ y = คะแนนสอบ แต่ละคู่คือหนึ่งจุดในแผนภาพการกระจาย

xy123456246810

ถ้าจุดอยู่ประมาณตามเส้นตรง คุณอธิบายด้วยเส้นตรงและใช้ทำนาย y จาก x ได้ นี่คือการถดถอยเชิงเส้น

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y แฮท”) คือค่า y ที่ทำนาย
  • b คือความชัน: ŷ เปลี่ยนไปเท่าใดเมื่อ x เพิ่มขึ้น 1
  • a คือจุดตัดแกน: ค่าของ ŷ ที่ x = 0
ตรวจสอบตนเอง เส้นถดถอยคือ ŷ = 40 + 5x โดย x คือชั่วโมงที่เรียนและ ŷ คือคะแนนที่ทำนาย เลข 5 หมายความว่าอย่างไร
  1. คะแนนเป็น 5 เท่าของชั่วโมง
  2. นักเรียนที่ไม่เรียนได้คะแนน 5
  3. เส้นผ่านจุด (5, 40)
  4. แต่ละชั่วโมงที่เพิ่มขึ้นเพิ่มประมาณ 5 คะแนน

คำตอบ: แต่ละชั่วโมงที่เพิ่มขึ้นเพิ่มประมาณ 5 คะแนน. ความชัน b คือการเปลี่ยนแปลงของ ŷ ต่อหนึ่งหน่วยของ x คะแนนที่ทำนายที่ x = 0 คือจุดตัดแกน a = 40 ไม่ใช่ 5

2เส้นกำลังสองน้อยที่สุด

ไม่มีเส้นใดผ่านทุกจุด ระยะแนวตั้งจากจุดถึงเส้นคือค่าเศษเหลือ (residual) e = y − ŷ

เส้นกำลังสองน้อยที่สุดคือเส้นที่มีผลรวมกำลังสองของค่าเศษเหลือน้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ความชันและจุดตัดแกนได้จากผลรวมของค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

เส้นผ่านจุดค่าเฉลี่ย (x̄, ȳ) เสมอ นั่นคือเหตุผลที่ a = ȳ − b · x̄

ถ้ากำหนดเฉพาะผลรวม ใช้ทางลัด Sxx = Σx² − (Σx)²/n และ Sxy = Σxy − ΣxΣy/n

ตรวจสอบตนเอง สำหรับชุดข้อมูลหนึ่ง x̄ = 4, ȳ = 10 และ b = 2 จุดตัดแกน a เป็นเท่าใด
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

คำตอบ: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2 การบวกแทนการลบให้ 18 และ 10 คือ ȳ เอง ซึ่งลืมความชัน

3สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ r ของเพียร์สันวัดว่าจุดอยู่ใกล้เส้นตรงเพียงใด อยู่ระหว่าง −1 และ 1 เสมอ

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r ใกล้ 1: แนวโน้มขาขึ้นที่แรง
  • r ใกล้ −1: แนวโน้มขาลงที่แรง เช่น ราคารถเทียบกับอายุรถ
  • r ใกล้ 0: ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง

r มีเครื่องหมายเดียวกับความชัน b กำลังสอง r² คือสัดส่วนของความแปรผันใน y ที่เส้นอธิบายได้

สหสัมพันธ์ที่แรงไม่ได้พิสูจน์ว่า x เป็นสาเหตุของ y ทั้งสองอาจขึ้นกับปริมาณที่สาม

ตรวจสอบตนเอง สำหรับอายุรถ x และราคา y ค่า r = −0.95 สิ่งนี้บอกอะไรคุณ
  1. การคำนวณผิด เพราะ r เป็นลบ
  2. ความสัมพันธ์ที่อ่อน
  3. ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงขาลงที่แรง
  4. รถเก่าราคาแพงกว่า

คำตอบ: ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงขาลงที่แรง. r ใกล้ −1 หมายความว่าจุดอยู่ใกล้เส้นขาลง: ราคาลดลงเมื่ออายุเพิ่ม ค่า r ที่เป็นลบใช้ได้อย่างสมบูรณ์ เฉพาะค่านอกช่วง −1 ถึง 1 เท่านั้นที่เป็นไปไม่ได้

4วิธีทำทีละขั้น

  1. คำนวณค่าเฉลี่ย x̄ และ ȳ
  2. ทำตารางที่มีคอลัมน์ x − x̄, y − ȳ, ผลคูณของทั้งสอง และ (x − x̄)² เพิ่ม (y − ȳ)² ถ้าโจทย์ถาม r
  3. บวกคอลัมน์เพื่อหา Sxy, Sxx และ Syy
  4. ความชัน b = Sxy/Sxx แล้วจุดตัดแกน a = ȳ − b · x̄
  5. สหสัมพันธ์ r = Sxy/√(SxxSyy)
  6. การทำนาย: แทน x ใน ŷ = a + bx ค่าเศษเหลือ: e = y − ŷ

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

วัดได้ห้าคู่: x = 1, 2, 3, 4, 5 และ y = 3, 5, 6, 8, 8 จงหาเส้นกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x และทำนาย ŷ สำหรับ x = 6

1

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

ค่าเบี่ยงเบน

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2

3

ผลรวม

คูณแต่ละคู่: 6, 1, 0, 2, 4 ยกกำลังสองค่าเบี่ยงเบนของ x: 4, 1, 0, 1, 4

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

ความชันและจุดตัดแกน

b = 13 / 10 = 1.3
a = 6 − 1.3 · 3 = 6 − 3.9 = 2.1
xy123456246810ŷ = 2.1 + 1.3x

เส้นประคือค่าเศษเหลือ ซึ่งมีค่าน้อย เส้นจึงเข้ากันได้ดี

5

ทำนาย

ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 2.1 + 7.8 = 9.9

ตรวจสอบ: เส้นผ่านจุดค่าเฉลี่ย 2.1 + 1.3 · 3 = 6 = ȳ

คำตอบ

ŷ = 2.1 + 1.3x และค่าทำนายสำหรับ x = 6 คือ ŷ = 9.9

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • คำนวณค่าเศษเหลือเป็น ŷ − y แทน y − ŷ
  • หารด้วย Syy แทน Sxx สำหรับความชัน
  • สับสนระหว่าง a กับ b: ความชันคูณ x
  • ลืมว่า r มีเครื่องหมายเดียวกับความชัน
  • ทำนายไกลนอกช่วงของข้อมูล เส้นตรงอาจไม่เป็นจริงที่นั่น
ตรวจสอบตนเอง เส้นคือ ŷ = 2.1 + 1.3x วัดจุดใหม่ (6, 8) ค่าเศษเหลือของมันคือเท่าใด
  1. 1.9
  2. 17.9
  3. 9.9
  4. −1.9

คำตอบ: −1.9. ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 9.9 ดังนั้น e = y − ŷ = 8 − 9.9 = −1.9 จุดอยู่ใต้เส้น ส่วน 1.9 คำนวณ ŷ − y ซึ่งกลับด้าน

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ความชันและจุดตัดแกน ห้าคู่ในตาราง หา b หรือ a ของเส้นกำลังสองน้อยที่สุด
  • ปานกลาง: สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ r จากข้อมูลหรือจากผลรวมที่กำหนด
  • ยาก: การทำนาย ใช้เส้นทำนาย ŷ สำหรับ x ใหม่ หรือหาค่าเศษเหลือของการสังเกตใหม่

ตรวจสอบอย่างรวดเร็ว: เครื่องหมายของ b และ r ต้องตรงกับทิศทางของแผนภาพการกระจาย

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
xy2441262082210301235xy510102030

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงหาจุดตัดแกน a

n = 6

จงหา a

แสดงคำใบ้
  1. ก่อนอื่นหาความชัน b = Sxy/Sxx
  2. x̄ = 7, ȳ = 20.5.
  3. เส้นตรงผ่านจุด (x̄, ȳ) ดังนั้น a = ȳ − b·x̄
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20.5

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

ความชัน

b = 211/70 = 3.014

ระยะตัดแกน

a = 20.5 − 3.014·7 = −0.6

คำตอบ

a = −0.6
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

จงหา r

แสดงคำใบ้
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 403/√(70·2443) = 0.9746

คำตอบ

r = 0.9746
ตัวอย่างที่ 3ยาก
xy123221318412513xy241520x = 1.5

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 1.5

n = 5x = 1.5

จงหา ŷ

แสดงคำใบ้
  1. ก่อนอื่นหาเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด: b = Sxy/Sxx และ a = ȳ − b·x̄
  2. x̄ = 3, ȳ = 17.4.
  3. ŷ = a + b·1.5.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17.4

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

เส้นถดถอย

b = −29/10 = −2.9
a = 17.4 − (−2.9)·3 = 26.1
ŷ = 26.1 − 2.9·x

การทำนาย

ŷ = 26.1 + (−2.9)·1.5 = 21.75

คำตอบ

ŷ = 21.75

คำถามและคำตอบ

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ คืออะไร

คุณวัดปริมาณสองอย่างสำหรับแต่ละกรณี เช่น x = ชั่วโมงที่เรียน และ y = คะแนนสอบ แต่ละคู่คือหนึ่งจุดในแผนภาพการกระจาย

ถ้าจุดอยู่ประมาณตามเส้นตรง คุณอธิบายด้วยเส้นตรงและใช้ทำนาย y จาก x ได้ นี่คือการถดถอยเชิงเส้น

จะแก้โจทย์ การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ ทีละขั้นได้อย่างไร

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ มีอะไรบ้าง
  • จุดตัดแกนคือ a = ȳ − b·x̄: เส้นตรงผ่านจุด (x̄, ȳ)
  • ȳ คือความสูงของเส้นตรงที่ x = x̄ ไม่ใช่ที่ x = 0 ให้ใช้ a = ȳ − b·x̄
  • ใช้ตัวหารเดียวกัน (n หรือ n − 1) ในความแปรปรวนร่วมและในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสองตัว เมื่อใช้ Sxy, Sxx และ Syy ตัวหารจะหักล้างกัน
แบบฝึกหัด การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ความชันและจุดตัดแกน
  • ปานกลาง: สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
  • ยาก: การทำนาย

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

สถิติเชิงพรรณนา

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณการถดถอยเชิงเส้นเครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (เพียร์สันและสเปียร์แมน)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยาสถิติเบื้องต้นสถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติโจทย์ฝึก AP Statisticsฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ พร้อมเฉลย
ฝึก การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ ฟรีฝึก การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร