การทดสอบไคสแควร์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การทดสอบไคสแควร์ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ภาวะสารูปสนิทดี, การทดสอบความเป็นอิสระ, การตัดสินใจจากค่าวิกฤต

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
สีแดงส้มเหลืองเขียวน้ำเงินที่สังเกตได้6129442145ที่อ้าง30%20%20%15%15%

ผู้ผลิตลูกอมอ้างว่ามีสัดส่วนสีตามที่แสดงในตาราง สุ่มตัวอย่างลูกอม 200 เม็ด ได้ความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์สำหรับภาวะสารูปสนิทดี χ² ของ H₀: สัดส่วนที่อ้างถูกต้อง

n = 200k = 5
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การทดสอบไคสแควร์ ฟรีฝึก การทดสอบไคสแควร์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายภาวะสารูปสนิทดี
  2. ปานกลางการทดสอบความเป็นอิสระ
  3. ยากการตัดสินใจจากค่าวิกฤต

สูตรสำคัญ

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

เรียนรู้ การทดสอบไคสแควร์ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

1การทดสอบไคสแควร์ทำอะไร

การทดสอบไคสแควร์ (χ², “kai square”) เปรียบเทียบจำนวนนับ มันถามว่าจำนวนที่คุณสังเกตต่างจากจำนวนที่คาดหวังมากกว่าความบังเอิญหรือไม่

ตัวอย่าง: คุณทอยลูกเต๋า 60 ครั้ง ถ้ามันยุติธรรม แต่ละหน้าควรออกประมาณ 60 · 1/6 = 10 ครั้ง นั่นคือจำนวนที่คาดหวัง (expected count) E

คุณสังเกตได้ 8, 12, 9, 11, 6 และ 14 นี่คือจำนวนที่สังเกตได้ (observed count) O มันไม่เคยเป็น 10 พอดี แม้สำหรับลูกเต๋าที่ยุติธรรม คำถามคือมันห่างเกินไปหรือไม่

เหมือนทุกการทดสอบสมมติฐาน H₀ กล่าวว่าไม่มีอะไรพิเศษ: ลูกเต๋ายุติธรรม หรือตัวแปรสองตัวเป็นอิสระต่อกัน

ตรวจสอบตนเอง ทอยลูกเต๋า 120 ครั้งเพื่อทดสอบว่ายุติธรรมหรือไม่ จำนวนที่คาดหวังของแต่ละหน้าคือเท่าใด
  1. 1/6
  2. 120
  3. 20
  4. 6

คำตอบ: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20 ความน่าจะเป็น 1/6 ไม่ใช่จำนวนนับ คุณต้องคูณด้วยจำนวนครั้งที่ทอย

2สถิติทดสอบ

สำหรับแต่ละประเภท หาผลต่าง O − E ยกกำลังสอง และหารด้วย E แล้วบวกทุกประเภท:

χ² = Σ (O − E)² / E

การยกกำลังสองทำให้ทุกพจน์เป็นบวก การหารด้วย E ทำให้ผลต่าง 4 มีน้ำหนักมากกว่าเมื่อคาดหวังเพียง 10 เทียบกับเมื่อคาดหวัง 1000

สำหรับลูกเต๋า: (8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4.2

องศาเสรี (degrees of freedom) สำหรับการทดสอบภาวะสารูปดี (goodness-of-fit) นี้คือ df = k − 1 โดย k คือจำนวนประเภท หกหน้าให้ df = 5

χ² ที่ใหญ่หมายถึงข้อมูลเข้ากับ H₀ ได้ไม่ดี ปฏิเสธ H₀ ถ้า χ² มากกว่าค่าวิกฤตจากตาราง ที่ α = 0.05:

  • df 1: 3.841, df 2: 5.991, df 3: 7.815
  • df 4: 9.488, df 5: 11.070, df 6: 12.592

สำหรับลูกเต๋า 4.2 ต่ำกว่า 11.070 จึงไม่มีหลักฐานว่าไม่ยุติธรรม

ตรวจสอบตนเอง หนึ่งประเภทมี O = 14 และ E = 10 มันเพิ่มอะไรให้ χ²
  1. 0.4
  2. 1.6
  3. 16
  4. 4

คำตอบ: 1.6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1.6 การลืมยกกำลังสองได้ 0.4 และการลืมหารด้วย E ได้ 16

3การทดสอบความเป็นอิสระ

ตารางการจำแนกสองทาง (contingency table) นับกรณีตามตัวแปรสองตัวพร้อมกัน เช่น การรักษา (แถว) และผล (คอลัมน์) H₀: ตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน

ถ้าเป็นอิสระ จำนวนที่คาดหวังในแต่ละช่องได้จากผลรวม:

E = ผลรวมแถว × ผลรวมคอลัมน์ / ผลรวมทั้งหมด

จากนั้นคำนวณ χ² ด้วยสูตรเดียวกับก่อนหน้า ทุกช่องของตาราง โดยไม่รวมแถวและคอลัมน์ผลรวม

df = (r − 1)(c − 1)

ที่นี่ r คือจำนวนแถวและ c คือจำนวนคอลัมน์ ไม่นับผลรวม ตาราง 2×2 มี df = 1

ตรวจสอบตนเอง ในตารางที่ผลรวมทั้งหมด 120 ช่องหนึ่งมีผลรวมแถว 40 และผลรวมคอลัมน์ 30 จำนวนที่คาดหวังของช่องนั้นคือเท่าใด
  1. 10
  2. 1200
  3. 3
  4. 70

คำตอบ: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10 ส่วน 1200 ลืมหารด้วยผลรวมทั้งหมด

4วิธีทำทีละขั้น

  1. ระบุ H₀: สัดส่วนที่อ้างถูกต้อง (ภาวะสารูปดี) หรือตัวแปรเป็นอิสระต่อกัน
  2. คำนวณจำนวนที่คาดหวังทุกช่อง: E = n · p หรือ ผลรวมแถว × ผลรวมคอลัมน์ / ผลรวมทั้งหมด
  3. สำหรับแต่ละช่อง คำนวณ (O − E)²/E บวกทั้งหมดเพื่อให้ได้ χ²
  4. หา df: k − 1 สำหรับภาวะสารูปดี (r − 1)(c − 1) สำหรับความเป็นอิสระ
  5. ค้นค่าวิกฤตสำหรับ df นั้นที่ α = 0.05
  6. ปฏิเสธ H₀ ถ้า χ² มากกว่าค่าวิกฤต ระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

ตรวจสอบ: จำนวนที่คาดหวังในแต่ละแถวและคอลัมน์รวมกันได้ผลรวมเท่ากับจำนวนที่สังเกตได้

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ในการทดลอง ผู้ป่วย 120 คนได้ยาใหม่ (แถว A) และ 100 คนได้ยาหลอก (แถว B) คอลัมน์ 1 นับผู้ป่วยที่อาการดีขึ้น คอลัมน์ 2 นับผู้ที่ไม่ดีขึ้น ทดสอบที่ α = 0.05 ว่าผลเป็นอิสระจากการรักษาหรือไม่

1

อ่านตาราง

12ΣABΣ56641205446100110110220

ผลรวมแถว: 120 และ 100 ผลรวมคอลัมน์: 110 และ 110 ผลรวมทั้งหมด: 220

2

ความถี่ที่คาดหวัง

EA1 = 120 · 110 / 220 = 60, EA2 = 60
EB1 = 100 · 110 / 220 = 50, EB2 = 50
12ΣABΣ56(60)64(60)12054(50)46(50)100110110220
3

สถิติ

χ² = (56 − 60)²/60 + (64 − 60)²/60 + (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50
χ² = 0.267 + 0.267 + 0.32 + 0.32 = 1.173
4

องศาเสรีและค่าวิกฤต

df = (2 − 1)(2 − 1) = 1, χ²crit = 3.841
5

ตัดสินใจ

3.8415%1.17χ²

1.173 น้อยกว่า 3.841 χ² จึงไม่อยู่ในเขตปฏิเสธ ไม่ปฏิเสธ H₀

คำตอบ

χ² ≈ 1.17 < 3.841: ไม่มีหลักฐานที่มีนัยสำคัญว่าอาการดีขึ้นขึ้นกับการรักษา

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้เปอร์เซ็นต์หรือสัดส่วนแทนจำนวนนับ χ² ใช้ได้กับจำนวนนับเท่านั้น
  • หารด้วย O แทน E
  • รวมแถวหรือคอลัมน์ผลรวมเข้าในผลบวก
  • ใช้ df ผิด: สำหรับตารางคือ (r − 1)(c − 1) ไม่ใช่จำนวนช่องลบหนึ่ง
  • ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² น้อยกว่าค่าวิกฤต เฉพาะ χ² ที่ใหญ่เป็นหลักฐานต่อต้าน H₀
ตรวจสอบตนเอง การทดสอบความเป็นอิสระใช้ตารางที่มี 3 แถวและ 4 คอลัมน์ (ไม่นับผลรวม) มีองศาเสรีเท่าใด
  1. 11
  2. 12
  3. 5
  4. 6

คำตอบ: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6 ส่วน 11 คือจำนวนช่องลบหนึ่ง ซึ่งเป็นกฎภาวะสารูปดีที่ใช้กับตารางผิด ๆ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ภาวะสารูปดี จำนวนหน้าลูกเต๋าหรือสีลูกอมเทียบกับสัดส่วนที่อ้าง คำนวณ χ²
  • ปานกลาง: การทดสอบความเป็นอิสระ คำนวณจำนวนที่คาดหวังจากผลรวม แล้ว χ² โดยไม่มีการแก้ไขความต่อเนื่อง
  • ยาก: การตัดสินใจด้วยค่าวิกฤต หา df และค่าวิกฤต χ²crit ที่ α = 0.05 จากตาราง

ตรวจอย่างเร็ว: χ² ไม่เคยเป็นลบ และเป็น 0 เฉพาะเมื่อจำนวนที่สังเกตได้ทุกค่าเท่ากับจำนวนที่คาดหวัง

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
หน้าลูกเต๋า123456ที่สังเกตได้534862505433

ทอดลูกเต๋า 300 ครั้งเพื่อทดสอบว่าลูกเต๋าเที่ยงตรงหรือไม่ จำนวนครั้งของแต่ละหน้าแสดงไว้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์สำหรับภาวะสารูปสนิทดี χ² ของ H₀: แต่ละหน้ามีความน่าจะเป็น 1/6

n = 300k = 6

จงหา χ²

แสดงคำใบ้
  1. ความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม
  2. E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
  3. บวก (O − E)²/E ของทุกกลุ่ม
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

E = 300·p = 50, 50, 50, 50, 50, 50

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (53 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (50 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50
χ² = 9.24

คำตอบ

χ² = 9.24

df = 5 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 11.070 ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
ไอไม่ไอรวมผู้สูบบุหรี่334780ผู้ไม่สูบบุหรี่3961100รวม72108180

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง

N = 1802 × 2

จงหา χ²

แสดงคำใบ้
  1. ความถี่ที่คาดหวังของแต่ละช่อง: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด
  2. E = 32, 48 | 40, 60.
  3. บวก (O − E)²/E ของทั้ง 4 ช่อง
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

ผู้สูบบุหรี่: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
ผู้ไม่สูบบุหรี่: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (33 − 32)²/32 + (47 − 48)²/48 + (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60
χ² = 0.09375

คำตอบ

χ² = 0.09375

df = 1 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 3.841 ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)

ตัวอย่างที่ 3ยาก

ทำการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์กับตารางการณ์จรที่มี 2 แถวและ 6 หลัก (ไม่นับแถวและหลักรวม) การทดสอบนี้มีองศาเสรี df เท่าใด

2 × 6

จงหา df

แสดงคำใบ้
  1. องศาเสรีคือจำนวนช่องที่เปลี่ยนค่าได้อิสระเมื่อกำหนดผลรวม (และพารามิเตอร์ที่ประมาณ) แล้ว
  2. ภาวะสารูปสนิทดี: k − 1 ลบหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณ
  3. ความเป็นอิสระ: (r − 1)(c − 1)
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

องศาเสรี

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

คำตอบ

df = 5

คำถามและคำตอบ

การทดสอบไคสแควร์ คืออะไร

การทดสอบไคสแควร์ (χ², “kai square”) เปรียบเทียบจำนวนนับ มันถามว่าจำนวนที่คุณสังเกตต่างจากจำนวนที่คาดหวังมากกว่าความบังเอิญหรือไม่

ตัวอย่าง: คุณทอยลูกเต๋า 60 ครั้ง ถ้ามันยุติธรรม แต่ละหน้าควรออกประมาณ 60 · 1/6 = 10 ครั้ง นั่นคือจำนวนที่คาดหวัง (expected count) E

จะแก้โจทย์ การทดสอบไคสแควร์ ทีละขั้นได้อย่างไร

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การทดสอบไคสแควร์ มีอะไรบ้าง
  • หารผลต่างกำลังสองแต่ละค่าด้วยความถี่ที่คาดหวัง E ไม่ใช่ด้วยความถี่ที่สังเกตได้ O
  • หารผลต่างกำลังสองแต่ละค่าด้วยความถี่ที่คาดหวัง E ของตัวเองก่อนบวก ไม่ใช่หารผลรวมด้วย n
  • ความถี่ที่คาดหวังได้จากผลรวมขอบตาราง ไม่ใช่การแบ่งผลรวมเท่า ๆ กัน: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด
แบบฝึกหัด การทดสอบไคสแควร์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ภาวะสารูปสนิทดี
  • ปานกลาง: การทดสอบความเป็นอิสระ
  • ยาก: การตัดสินใจจากค่าวิกฤต

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณความเหมาะสมของไคสแควร์

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยาสถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติโจทย์ฝึก AP Statistics

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การทดสอบไคสแควร์ พร้อมเฉลย
ฝึก การทดสอบไคสแควร์ ฟรีฝึก การทดสอบไคสแควร์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร