เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: แผนภาพเวนน์และเซตย่อย, หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกและความสัมพันธ์, ฟังก์ชันและการนับ

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

ให้ A = {b, e} และ B = {1, 2} จงหา |A × B|

A = {b, e}B = {1, 2}

คำตอบที่แน่นอน: จำนวนเต็ม ไม่ต้องปัดเศษ

โจทย์ถัดไป →
ฝึก เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ฟรีฝึก เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายแผนภาพเวนน์และเซตย่อย
  2. ปานกลางหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกและความสัมพันธ์
  3. ยากฟังก์ชันและการนับ

วิธีแก้โจทย์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

  1. วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
  2. สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
  3. ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
  4. สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
  5. สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • บวก |A| กับ |B| โดยไม่ลบส่วนที่ซ้ำกัน
  • ลืมบวกส่วนตรงกลางกลับสำหรับสามเซต
  • สลับเลขชี้กำลังในจำนวนฟังก์ชัน: จำนวนฟังก์ชันจาก m สมาชิกไปยัง n สมาชิกคือ nᵐ
  • ใช้ g ∘ f ผิดลำดับ: f ทำงานก่อน
  • ลืมคู่ (x, x) เมื่อนับคู่ของความสัมพันธ์สมมูล

สูตรสำคัญ

สองเซต
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

เรียนรู้ เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

1เซตและการดำเนินการของเซต

เซตคือกลุ่มของสมาชิกที่แตกต่างกัน: A = {1, 2, 3} ลำดับและการซ้ำไม่มีผล |A| คือจำนวนสมาชิก และ U คือเอกภพสัมพัทธ์ที่บรรจุทุกอย่างที่กำลังพิจารณา

  • A ∪ B (ยูเนียน): สมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B หรือทั้งสอง
  • A ∩ B (อินเตอร์เซกชัน): สมาชิกที่อยู่ในทั้งสอง
  • A − B (ผลต่าง): สมาชิกของ A ที่ไม่อยู่ใน B
  • A′ (คอมพลีเมนต์): สมาชิกของ U ที่ไม่อยู่ใน A

ในแผนภาพเวนน์ วงกลมสองวงแบ่ง U เป็นสี่บริเวณ: เฉพาะ A, ทั้งสอง, เฉพาะ B และไม่อยู่ในทั้งสอง นิพจน์เซตทุกนิพจน์คือยูเนียนของบางบริเวณเหล่านี้ จึงนับทีละบริเวณได้เสมอ

UAB125815

ในที่นี้ |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 และ |(A ∪ B)′| = 15

ตรวจสอบตนเอง ในแผนภาพข้างบน A − B มีสมาชิกกี่ตัว
  1. 12
  2. 17
  3. 25
  4. 5

คำตอบ: 12. A − B เก็บส่วนของ A ที่อยู่นอก B: เฉพาะบริเวณที่มี 12 ส่วน 5 ตัวในส่วนที่ซ้อนกันก็อยู่ใน B ด้วย และ 17 คือ A ทั้งหมด

2การนับด้วยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก

การบวก |A| กับ |B| นับส่วนที่ซ้อนกันสองครั้ง จึงต้องลบออกหนึ่งครั้ง:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

สำหรับสามเซต จะลบส่วนที่ซ้อนกันเป็นคู่ แต่ส่วนตรงกลางถูกลบไปสามครั้งแล้ว จึงต้องบวกกลับ:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

ในโจทย์ปัญหา ปกติปลอดภัยกว่าถ้าเติมแผนภาพเวนน์จากตรงกลางออกไป: เริ่มจากสมาชิกที่อยู่ในทั้งสามเซต แล้วแต่ละคู่ลบส่วนกลาง จากนั้นแต่ละเซตเดี่ยวลบสิ่งที่วางไปแล้ว

การนับอีกสองแบบที่พบบ่อย: เซตที่มี n สมาชิกมี 2ⁿ เซตย่อย (เพาเวอร์เซต 𝒫(A)) และ |A × B| = |A|·|B| คู่อันดับ

ตรวจสอบตนเอง นักเรียน 40 คน 25 คนเรียนภาษาฝรั่งเศส 18 คนเรียนภาษาเยอรมัน และ 9 คนเรียนทั้งสองภาษา มีกี่คนที่ไม่ได้เรียนทั้งสองภาษา
  1. 15
  2. 34
  3. 3
  4. 6

คำตอบ: 6. |F ∪ G| = 25 + 18 − 9 = 34 ดังนั้น 40 − 34 = 6 คนไม่ได้เรียนทั้งสองภาษา ถ้าลืมลบ 9 จะได้ 43 ซึ่งมากกว่ากลุ่มทั้งหมด

3ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

นักเรียน 60 คน 30 คนสอบผ่านคณิตศาสตร์ (M) 25 คนผ่านฟิสิกส์ (P) และ 20 คนผ่านเคมี (C) 10 คนผ่าน M และ P 8 คนผ่าน M และ C 6 คนผ่าน P และ C และ 3 คนผ่านทั้งสามวิชา มีกี่คนที่ไม่ผ่านเลย

1

ศูนย์กลาง

3 คนผ่านทั้งสามวิชา

2

เฉพาะคู่

เฉพาะ M และ P: 10 − 3 = 7 เฉพาะ M และ C: 8 − 3 = 5 เฉพาะ P และ C: 6 − 3 = 3

3

เฉพาะเดี่ยว

เฉพาะ M: 30 − 7 − 5 − 3 = 15 เฉพาะ P: 25 − 7 − 3 − 3 = 12 เฉพาะ C: 20 − 5 − 3 − 3 = 9

4

ยูเนียนและคอมพลีเมนต์

|M ∪ P ∪ C| = 15 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 54

สูตรให้ผลเท่ากัน: 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54

คำตอบ

60 − 54 = 6 คนไม่ผ่านทั้งสามวิชา

4ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ R บนเซต X คือเซตของคู่อันดับ (x, y) ที่ x และ y อยู่ใน X เมื่อวาดเป็นกราฟมีทิศทาง แต่ละคู่คือลูกศร และ (x, x) คือลูป

  • สะท้อน: (x, x) ∈ R สำหรับทุก x: มีลูปที่ทุกจุดยอด
  • สมมาตร: (x, y) ∈ R มี (y, x) ∈ R มาด้วยเสมอ
  • ปฏิสมมาตร: (x, y) และ (y, x) อยู่ใน R ทั้งคู่เฉพาะเมื่อ x = y
  • แพร่ผ่าน: (x, y) และ (y, z) ใน R บังคับให้ (x, z) ∈ R

ความสัมพันธ์ที่สะท้อน สมมาตร และแพร่ผ่านเรียกว่าความสัมพันธ์สมมูล ซึ่งแบ่ง X เป็นคลาสที่ไม่ซ้อนกัน เช่น เศษ 0, 1 และ 2 สำหรับ “x ≡ y (mod 3)” คลาสที่มี s สมาชิกให้คู่อันดับ s² คู่

การหักล้างสมบัติต้องการตัวอย่างค้านเพียงหนึ่งตัวอย่าง ส่วนการพิสูจน์ต้องตรวจทุกคู่

ตรวจสอบตนเอง R = {(1, 2), (2, 3)} บน {1, 2, 3} ต้องเพิ่มคู่ใดเพื่อให้ R แพร่ผ่าน
  1. (1, 1)
  2. (1, 3)
  3. (2, 1)
  4. (3, 1)

คำตอบ: (1, 3). (1, 2) และ (2, 3) อยู่ใน R ดังนั้นสมบัติแพร่ผ่านต้องการ (1, 3) ส่วน (2, 1) จำเป็นสำหรับความสมมาตร และ (1, 1) สำหรับการสะท้อน

5ฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี

AB123abcd
  • หนึ่งต่อหนึ่ง (injective): สมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ไม่มีสมาชิกของ B ที่ได้รับลูกศรสองเส้น
  • ทั่วถึง (surjective): สมาชิกทุกตัวของ B ได้รับลูกศรอย่างน้อยหนึ่งเส้น
  • หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective): ทั้งสองอย่าง ถึงจะมีฟังก์ชันผกผัน f⁻¹

ฟังก์ชันในรูปเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง: d ไม่ได้รับลูกศร ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งต้องการ |A| ≤ |B| และฟังก์ชันทั่วถึงต้องการ |A| ≥ |B|

เมื่อ |A| = m และ |B| = n มีฟังก์ชัน nᵐ ฟังก์ชัน และฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน ฟังก์ชันประกอบ (g ∘ f)(x) = g(f(x)) ใช้ f ก่อน

ตรวจสอบตนเอง มีฟังก์ชันจากเซตที่มี 3 สมาชิกไปยังเซตที่มี 4 สมาชิกกี่ฟังก์ชัน
  1. 12
  2. 24
  3. 64
  4. 81

คำตอบ: 64. สมาชิกทั้ง 3 ตัวต่างเลือกภาพจาก 4 ตัว: 4³ = 64 ส่วน 3⁴ = 81 สลับบทบาท 24 = 4·3·2 นับเฉพาะฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ 12 = 3·4 คือขนาดของ A × B

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • บวก |A| + |B| โดยไม่ลบส่วนที่ซ้อนกัน
  • ลืมบวกส่วนกลางกลับในหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกของสามเซต
  • เขียน mⁿ แทน nᵐ สำหรับจำนวนฟังก์ชันจาก m สมาชิกไปยัง n สมาชิก
  • คิดว่าความสัมพันธ์ไม่สามารถเป็นทั้งสมมาตรและปฏิสมมาตรได้: ความสัมพันธ์ {(1, 1)} เป็นทั้งสองอย่าง
  • ใช้ g ∘ f ผิดลำดับ: f ทำงานก่อน

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: แผนภาพเวนน์และเซตย่อย คุณนับนิพจน์เซตจากแผนภาพเวนน์ คลิกบริเวณของนิพจน์ หรือหาขนาดของเพาเวอร์เซต ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือวงศ์ของเซตย่อย
  • ปานกลาง: หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกและความสัมพันธ์ คุณแก้โจทย์การนับสองเซตและสามเซต นับนิพจน์จากผลรวมของบริเวณ ตัดสินว่าความสัมพันธ์มีสมบัติใด หรือนับคู่ที่ต้องใช้สำหรับการปิด
  • ยาก: ฟังก์ชันและการนับ คุณจัดประเภทฟังก์ชันว่าเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง หรือหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง นับฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และฟังก์ชันทั่วถึง คำนวณฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน และนับคู่ในความสัมพันธ์สมมูล

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

ให้ A = {a, b, c, x, y} และ B = {1, 2, 3, 4} จงหา |𝒫(A)|

A = {a, b, c, x, y}B = {1, 2, 3, 4}

จงหา |𝒫(A)|

แสดงคำใบ้
  1. เซตที่มี k สมาชิกมี 2ᵏ เซตย่อย: สมาชิกแต่ละตัวอยู่ในเซตย่อยหรือไม่อยู่
  2. |A| = 5, |B| = 4.
  3. |𝒫(A)| = 2|A|.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ฟังก์ชันและการนับ: ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เมื่อสมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ทั่วถึง (surjective) เมื่อสมาชิกทุกตัวของ B เป็นภาพ และหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เมื่อเป็นจริงทั้งสองอย่าง เมื่อ |A| = m และ |B| = n มี nᵐ ฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน (m ≤ n) และฟังก์ชันทั่วถึง Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ ฟังก์ชันโดยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก |𝒫(A)| = 2ᵐ และ |A × B| = m·n

ขนาด

|A| = 5
|B| = 4

นับ

|𝒫(A)| = 25 = 32

คำตอบ

|𝒫(A)| = 32
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
UMPC

ในบรรดานักศึกษาปีหนึ่ง 53 คน มี 35 คนสอบผ่านคณิตศาสตร์ (M) 28 คนสอบผ่านฟิสิกส์ (P) และ 29 คนสอบผ่านเคมี (C) 20 คนผ่าน M และ P 18 คนผ่าน M และ C 10 คนผ่าน P และ C และ 6 คนผ่านทั้งสามวิชา มีกี่คนที่ไม่อยู่ในทั้งสามเซต

|U| = 53

จงหา |(M ∪ P ∪ C)′|

แสดงคำใบ้
  1. เติมแผนภาพเวนน์จากตรงกลางออกไป: ทั้งสามก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว
  2. เฉพาะ M และ P (ไม่รวม C): 20 − 6 = 14 เฉพาะ M: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
  3. อย่างน้อยหนึ่งเซต: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เซตและแผนภาพเวนน์: A ∪ B มีสมาชิกใน A หรือ B (หรือทั้งสอง) A ∩ B มีสมาชิกในทั้งสอง A − B มีสมาชิกของ A ที่ไม่อยู่ใน B และคอมพลีเมนต์ A′ คือทุกอย่างใน U ที่ไม่อยู่ใน A ในแผนภาพเวนน์ นิพจน์เซตทุกนิพจน์คือยูเนียนของบริเวณ จึงนับทีละบริเวณได้ หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| และ |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

ส่วนกลางและคู่

M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P เท่านั้น: 20 − 6 = 14
M ∩ C เท่านั้น: 18 − 6 = 12
P ∩ C เท่านั้น: 10 − 6 = 4

เซตเดี่ยว

M เท่านั้น: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
P เท่านั้น: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
C เท่านั้น: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

คำตอบ

|M ∪ P ∪ C| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

คำตอบ

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3
ตัวอย่างที่ 3ยาก
x12345f(x)13234g(x)51541

ฟังก์ชัน f และ g บน {1, 2, 3, 4, 5} กำหนดด้วยตาราง จงหา (f ∘ g)(5)

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 5, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1

จงหา (f ∘ g)(5)

แสดงคำใบ้
  1. (f ∘ g)(x) หมายถึง f(g(x)): ใช้ g ก่อน แล้วจึงใช้ f
  2. ค่าด้านในคือ g(5) = 1
  3. จากนั้นใช้ฟังก์ชันด้านนอกกับ 1
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ฟังก์ชันและการนับ: ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เมื่อสมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ทั่วถึง (surjective) เมื่อสมาชิกทุกตัวของ B เป็นภาพ และหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เมื่อเป็นจริงทั้งสองอย่าง เมื่อ |A| = m และ |B| = n มี nᵐ ฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน (m ≤ n) และฟังก์ชันทั่วถึง Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ ฟังก์ชันโดยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก |𝒫(A)| = 2ᵐ และ |A × B| = m·n

ฟังก์ชันด้านใน

g(5) = 1

ฟังก์ชันด้านนอก

f(1) = 1
(f ∘ g)(5) = 1

คำตอบ

(f ∘ g)(5) = 1

คำถามและคำตอบ

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน คืออะไร

ในแผนภาพเวนน์ วงกลมสองวงแบ่ง U เป็นสี่บริเวณ: เฉพาะ A, ทั้งสอง, เฉพาะ B และไม่อยู่ในทั้งสอง นิพจน์เซตทุกนิพจน์คือยูเนียนของบางบริเวณเหล่านี้ จึงนับทีละบริเวณได้เสมอ

ในที่นี้ |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 และ |(A ∪ B)′| = 15

จะแก้โจทย์ เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
  2. สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
  3. ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
  4. สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
  5. สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน มีอะไรบ้าง
  • บวก |A| กับ |B| โดยไม่ลบส่วนที่ซ้ำกัน
  • ลืมบวกส่วนตรงกลางกลับสำหรับสามเซต
  • สลับเลขชี้กำลังในจำนวนฟังก์ชัน: จำนวนฟังก์ชันจาก m สมาชิกไปยัง n สมาชิกคือ nᵐ
  • ใช้ g ∘ f ผิดลำดับ: f ทำงานก่อน
  • ลืมคู่ (x, x) เมื่อนับคู่ของความสัมพันธ์สมมูล
แบบฝึกหัด เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: แผนภาพเวนน์และเซตย่อย
  • ปานกลาง: หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกและความสัมพันธ์
  • ยาก: ฟังก์ชันและการนับ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

เรียนต่อด้วย

ทฤษฎีกราฟ

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน พร้อมเฉลย
ฝึก เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ฟรีฝึก เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร