ความน่าจะเป็น: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: จะแก้โจทย์ ความน่าจะเป็น ทีละขั้นได้อย่างไร

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

Q: แบบฝึกหัด ความน่าจะเป็น ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน ปานกลาง: การนับและส่วนเติมเต็ม ยาก: การแจกแจงทวินาม โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด ความน่าจะเป็น ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน, การนับและส่วนเติมเต็ม, การแจกแจงทวินาม

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

ทอดลูกเต๋ายุติธรรมสองลูก ความน่าจะเป็น P ที่ผลรวมอย่างน้อย 4 คือเท่าใด

ลูกเต๋า 2 ลูก≥ 4

ตอบความน่าจะเป็นเป็นทศนิยมระหว่าง 0 ถึง 1

โจทย์ถัดไป →

ฝึก ความน่าจะเป็น ฟรี ฝึก ความน่าจะเป็น เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน
ปานกลางการนับและส่วนเติมเต็ม
ยากการแจกแจงทวินาม

สูตรสำคัญ

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

เรียนรู้ ความน่าจะเป็น ตั้งแต่ต้น

1ความน่าจะเป็นคืออะไร

ความน่าจะเป็นคือตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ที่บอกว่าสิ่งหนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นเพียงใด 0 หมายถึงไม่เคยเกิด 1 หมายถึงเกิดเสมอ

เมื่อทุกผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน ให้นับ:

P(A) = จำนวนผลลัพธ์ที่สนใจ / จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลแดง 3 ลูก น้ำเงิน 5 ลูก และเขียว 2 ลูก รวม 10 ลูก ถ้าหยิบหนึ่งลูกโดยสุ่ม P(น้ำเงิน) = 5/10 = 0.5

ลูกเต๋าที่ยุติธรรมมี 6 หน้า ดังนั้น P(หก) = 1/6 ≈ 0.167 และ P(คู่) = 3/6 = 0.5

ความน่าจะเป็นเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้เช่นกัน: 0.5 คือ 50% คำตอบในข้อสอบมักเป็นทศนิยมระหว่าง 0 ถึง 1

ตรวจสอบตนเอง ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลแดง 2 ลูก น้ำเงิน 8 ลูก และเขียว 4 ลูก คุณหยิบหนึ่งลูกโดยสุ่ม P(แดง) เป็นเท่าใด

2/12 ≈ 0.167
2/14 ≈ 0.143
2/8 = 0.25
2

คำตอบ: 2/14 ≈ 0.143. มีลูกบอล 2 + 8 + 4 = 14 ลูก และสีแดง 2 ลูก: 2/14 ≈ 0.143 การหารด้วย 12 นับเฉพาะลูกบอลอื่น แต่ผลรวมต้องรวมลูกสีแดงด้วย

2กฎการรวมเหตุการณ์

ส่วนเติมเต็ม: P(ไม่ใช่ A) = 1 − P(A) ใช้กับโจทย์ “อย่างน้อยหนึ่ง”: P(อย่างน้อยหนึ่ง) = 1 − P(ไม่มีเลย)
และ เหตุการณ์อิสระ: คูณ เหรียญที่ยุติธรรมสองเหรียญให้ P(หัวสองครั้ง) = 0.5 · 0.5 = 0.25
หรือ: P(A หรือ B) = P(A) + P(B) − P(A และ B) ลบส่วนทับซ้อนเพื่อไม่ให้นับซ้ำสองครั้ง

การหยิบแบบไม่ใส่คืนเปลี่ยนสิ่งที่อยู่ในถุง หลังจากหยิบลูกบอลแดงออกหนึ่งลูก ลูกบอลแดงจะน้อยลงหนึ่งลูกและลูกบอลรวมน้อยลงหนึ่งลูก

เมื่อมีลูกบอลแดง 5 ลูกและน้ำเงิน 4 ลูก P(แดงสองลูก) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278

ในการนับกลุ่มที่ลำดับไม่สำคัญ ใช้การจัดหมู่ (combination) จำนวนวิธีเลือก k สิ่งจาก n คือ:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

ในที่นี้ n! = n · (n − 1) · … · 1 ดังนั้น C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 คณะกรรมการ 4 คนจาก 6 คน

ตรวจสอบตนเอง ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลแดง 5 ลูกและน้ำเงิน 4 ลูก คุณหยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน P(แดงทั้งคู่) เป็นเท่าใด

0.139
0.278
0.309
0.556

คำตอบ: 0.278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278 การใช้ 5/9 · 5/9 ≈ 0.309 ลืมว่าลูกบอลแดงลูกแรกไม่อยู่ในถุงแล้ว

3การแจกแจงทวินาม

บางโจทย์ทำการทดลองเดียวกันซ้ำ n ครั้ง: ทดสอบชิ้นส่วน 5 ชิ้น เดาคำตอบ 8 ข้อ โยนเหรียญ 3 ครั้ง แต่ละการทดลองสำเร็จด้วยความน่าจะเป็น p อย่างเป็นอิสระจากครั้งอื่น

จำนวนครั้งที่สำเร็จ X จึงเป็นไปตามการแจกแจงทวินาม:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

pᵏ: k ครั้งที่สำเร็จ
(1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k ครั้งที่ล้มเหลว
C(n, k): จำนวนลำดับต่าง ๆ ที่ความสำเร็จอาจตกอยู่

สำหรับ “อย่างมากหนึ่ง” ให้บวก P(X = 0) และ P(X = 1) สำหรับ “อย่างน้อยหนึ่ง” ใช้ 1 − P(X = 0)

ตรวจสอบตนเอง คุณโยนเหรียญที่ยุติธรรม 3 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวพอดี 2 ครั้งเป็นเท่าใด

0.125
0.25
0.375
0.667

คำตอบ: 0.375. C(3, 2) · 0.5² · 0.5 = 3 · 0.125 = 0.375 การลืม C(3, 2) ให้ 0.125: นั่นคือลำดับเดียว เช่น HHT แต่ THH และ HTH ก็นับด้วย

4วิธีทำทีละขั้น

เขียนว่าหนึ่งผลลัพธ์คืออะไรและมีผลลัพธ์ทั้งหมดกี่แบบ
แปลคำพูด: “และ” หมายถึงคูณ “หรือ” หมายถึงบวก (ลบส่วนทับซ้อน) “ไม่” หมายถึง 1 − P
สำหรับ “อย่างน้อยหนึ่ง” ให้คำนวณส่วนเติมเต็ม “ไม่มีเลย” ก่อน
แบบไม่ใส่คืน: ลดจำนวนหลังการหยิบทุกครั้ง หรือนับด้วยการจัดหมู่
การทดลองอิสระซ้ำที่มี p คงที่: ใช้สูตรทวินาม
ตรวจสอบว่าคำตอบอยู่ระหว่าง 0 และ 1

แผนภาพต้นไม้ช่วยได้เมื่อมีหลายขั้นตอน: คูณตามกิ่ง และบวกกิ่งที่ต้องการ

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลแดง 4 ลูกและน้ำเงิน 6 ลูก คุณหยิบลูกบอลสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่อย่างน้อยหนึ่งลูกเป็นสีแดงเป็นเท่าใด

ใช้ส่วนเติมเต็ม

“อย่างน้อยหนึ่งลูกแดง” มีสามกรณี: แดง–แดง แดง–น้ำเงิน และน้ำเงิน–แดง สิ่งตรงข้าม “ไม่มีแดงเลย” มีเพียงกรณีเดียว: น้ำเงิน–น้ำเงิน

P(แดงอย่างน้อยหนึ่งลูก) = 1 − P(น้ำเงินทั้งสองลูก)

การหยิบครั้งแรก

มีลูกบอลน้ำเงิน 6 ลูกจาก 10 ลูก

P(ลูกแรกเป็นน้ำเงิน) = 6/10

การหยิบครั้งที่สอง

ลูกบอลน้ำเงินหายไปหนึ่งลูก จึงเหลือลูกบอลน้ำเงิน 5 ลูกจาก 9 ลูก

P(น้ำเงินทั้งสองลูก) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3

ในแผนภาพต้นไม้ R คือลูกบอลแดงและ B คือลูกบอลน้ำเงิน กิ่งตัวหนาคือน้ำเงิน–น้ำเงิน

หาส่วนเติมเต็ม

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0.667

ตรวจสอบคำตอบ

นับด้วยการจัดหมู่: มี C(10, 2) = 45 คู่ และ C(6, 2) = 15 คู่เป็นน้ำเงิน–น้ำเงิน 15/45 = 1/3 เท่ากับก่อนหน้า

อีกสามกิ่งของต้นไม้รวมกันเป็น 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 เช่นกัน

คำตอบ

P = 2/3 ≈ 0.667

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

บวกความน่าจะเป็นสำหรับ “อย่างน้อยหนึ่ง” แทนที่จะใช้ 1 − P(ไม่มีเลย)
ลืมลดจำนวนเมื่อหยิบโดยไม่ใส่คืน
ลืมตัวคูณ C(n, k) ในสูตรทวินาม
หารด้วยผลรวมที่ผิด เช่น เฉพาะสีอื่น
ตอบความน่าจะเป็นที่มากกว่า 1 หรือน้อยกว่า 0 ซึ่งเป็นสัญญาณของข้อผิดพลาดเสมอ

ตรวจสอบตนเอง คุณทอยลูกเต๋าที่ยุติธรรมสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หกอย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเท่าใด

1/3 ≈ 0.333
1/36 ≈ 0.028
11/36 ≈ 0.306
25/36 ≈ 0.694

คำตอบ: 11/36 ≈ 0.306. 1 − P(ไม่มีหก) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36 การบวก 1/6 + 1/6 ให้ 1/3 ซึ่งนับกรณีได้หกสองครั้งซ้ำสองรอบ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน หยิบหนึ่งครั้งจากถุงลูกบอลสี หรือทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง
ปานกลาง: การนับและส่วนเติมเต็ม คณะกรรมการด้วย C(n, k) หรือหยิบสองครั้งโดยไม่ใส่คืน
ยาก: การแจกแจงทวินาม สำเร็จพอดี k ครั้ง หรือ “อย่างมากหนึ่ง” เป็น P(X = 0) + P(X = 1)

ตอบเป็นทศนิยมระหว่าง 0 ถึง 1 ปัดเป็นสามหรือสี่ตำแหน่ง

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

ตารางให้การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X แต่ขาดความน่าจะเป็นหนึ่งค่า จงหา P(X = 1)

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0.25, 0.15, 0.2, 0.15

จงหา P(X = 1)

แสดงคำใบ้

ความน่าจะเป็นทั้งหมดของการแจกแจงรวมกันได้ 1
บวกความน่าจะเป็นที่ทราบ
P = 1 − 0.75.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ผลรวมของความน่าจะเป็นที่ทราบ

0.25 + 0.15 + 0.2 + 0.15 = 0.75

ความน่าจะเป็นที่ขาด

P(X = 1) = 1 − 0.75 = 0.25

คำตอบ

P(X = 1) = 0.25

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.05, 0.3, 0.15

จงหา Var(X)

แสดงคำใบ้

μ = Σx·p(x) = 2.95.
จากนั้น E(X²) = Σx²·p(x)
Var(X) = E(X²) − μ².

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.15 = 2.95

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.15 = 10.55

ความแปรปรวน

Var(X) = 10.55 − 2.95² = 1.848

คำตอบ

Var(X) = 1.848

ตัวอย่างที่ 3ยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 12 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.3 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 5 ข้อคือเท่าใด

n = 12p = 0.3k = 5

จงหา P

แสดงคำใบ้

นี่คือการแจกแจงทวินาม: จำนวนการทดลองอิสระคงที่ และความน่าจะเป็นสำเร็จเท่ากันทุกครั้ง
P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^n−k.
C(12, 5) = 792.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

สูตรทวินาม

P(X = 5) = 792·0.3⁵·0.7⁷ = 792·0.00243·0.08235 = 0.1585

คำตอบ

P = 0.1585

คำถามและคำตอบ

ความน่าจะเป็น คืออะไร

เมื่อทุกผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน ให้นับ:

จะแก้โจทย์ ความน่าจะเป็น ทีละขั้นได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ความน่าจะเป็น มีอะไรบ้าง

นั่นคือผลรวมของความน่าจะเป็นที่ทราบ ค่าที่ขาดคือ 1 ลบผลรวมนั้น
ค่าต่าง ๆ ไม่ได้มีโอกาสเท่ากัน: ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมกันได้ 1
E(X²) ไม่ใช่ความแปรปรวน: ต้องลบ μ²

แบบฝึกหัด ความน่าจะเป็น ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน
ปานกลาง: การนับและส่วนเติมเต็ม
ยาก: การแจกแจงทวินาม

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

สถิติสำหรับการปฏิบัติที่อิงหลักฐาน

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินาม เครื่องคำนวณการแจกแจงปัวซง เครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ (nPr และ nCr)เครื่องคำนวณค่าคาดหมายและความแปรปรวน

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา สถิติเบื้องต้น คณิตศาสตร์วิศวกรรม โจทย์ฝึก AP Statistics ฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิต อนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุด อินทิกรัล ลำดับและอนุกรม แคลคูลัสหลายตัวแปร สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อน วิธีเชิงตัวเลข เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์สถิติเชิงพรรณนา การแจกแจงปกติ ช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ความน่าจะเป็น พร้อมเฉลย