การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: สถิติ z, สถิติ t, ช่วงความเชื่อมั่น

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
μ₀x̄c = ?α = 0.05

ผู้ผลิตอ้างว่าความต้านแรงดึงเฉลี่ยของสายเคเบิลคือ 50 kN คุณสงสัยว่าสูงกว่านั้น ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 8 kN คุณจะสุ่มตัวอย่างสายเคเบิล 25 เส้นและทดสอบ H₀: μ = 50 kN เทียบกับ H₁: μ > 50 kN ที่ α = 0.05 จะปฏิเสธ H₀ เมื่อค่าเฉลี่ยตัวอย่าง x̄c สูงกว่าเท่าใด

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0.05
kN
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น ฟรีฝึก การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายสถิติ z
  2. ปานกลางสถิติ t
  3. ยากช่วงความเชื่อมั่น

วิธีแก้โจทย์การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้ค่าวิกฤตทางเดียวกับการทดสอบสองทาง
  • กล่าวว่า H₀ เป็นจริงแล้วทั้งที่เพียงไม่ปฏิเสธ
  • ลืม √n ในความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

สูตรสำคัญ

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

เรียนรู้ การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ช่วงความเชื่อมั่น

1แนวคิดของการทดสอบ

เครื่องจักรควรบรรจุขวด 500 mL โดยเฉลี่ย ตัวอย่างขวดมีค่าเฉลี่ย 496 mL เครื่องผิดปกติ หรือเป็นเพียงความบังเอิญ

การทดสอบสมมติฐาน (hypothesis test) ตอบคำถามนั้นด้วยตัวเลข คุณเริ่มจากข้อความสองข้อ:

  • สมมติฐานศูนย์ (null hypothesis) H₀: ไม่มีอะไรเปลี่ยน ที่นี่ H₀: μ = 500
  • สมมติฐานทางเลือก (alternative hypothesis) H₁: สิ่งที่คุณสงสัย ที่นี่ H₁: μ ≠ 500 (สองด้าน) หรือ μ < 500 ถ้าคุณกังวลเฉพาะการบรรจุไม่เต็ม (ด้านเดียว)

คุณสมมติว่า H₀ เป็นจริงและถามว่า ตัวอย่างนี้ผิดปกติเพียงใด ถ้ามันผิดปกติมาก คุณปฏิเสธ H₀

ตรวจสอบตนเอง ผู้จัดจำหน่ายอ้างว่าตัวต้านทานของตนเฉลี่ย 220 Ω คุณต้องการทดสอบข้ออ้างนี้ H₀ คืออะไร
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

คำตอบ: μ = 220 Ω. H₀ คือข้ออ้างที่ถูกทดสอบ เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยประชากร μ ส่วน μ ≠ 220 Ω คือสมมติฐานทางเลือก H₁ และสมมติฐานไม่เคยเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง x̄ ซึ่งคุณรู้อยู่แล้ว

2สถิติทดสอบ

สถิติทดสอบ (test statistic) วัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างห่างจาก μ₀ ซึ่งเป็นค่าใน H₀ เท่าใด ในหน่วยของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

ใช้ z เมื่อทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร σ เมื่อทราบเฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ใช้ t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

ค่า z หรือ t ใกล้ 0 หมายถึงตัวอย่างสอดคล้องกับ H₀ ค่าบวกหรือลบที่ใหญ่หมายถึงตัวอย่างอยู่ไกลจาก μ₀

ตรวจสอบตนเอง H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 และ x̄ = 118 z คือเท่าใด
  1. 1
  2. −0.25
  3. −1
  4. −4

คำตอบ: −1. ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานคือ 8/√16 = 2 ดังนั้น z = (118 − 120)/2 = −1 การหารด้วย σ = 8 แทน σ/√n ได้ −0.25 เครื่องหมายเป็นลบเพราะ x̄ ต่ำกว่า μ₀

3การตัดสินใจ: ค่าวิกฤตและค่า p

ก่อนดูข้อมูล เลือกระดับนัยสำคัญ (significance level) α ปกติ 0.05 มันคือความเสี่ยงที่คุณยอมรับในการปฏิเสธ H₀ ที่เป็นจริง

สำหรับการทดสอบ z ที่ α = 0.05:

  • สองด้าน (H₁: μ ≠ μ₀): ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
  • ด้านเดียว (H₁: μ > μ₀): ปฏิเสธ H₀ ถ้า z > 1.645 สำหรับ μ < μ₀: ปฏิเสธถ้า z < −1.645

ค่า p (p-value) คือความน่าจะเป็นของผลที่รุนแรงอย่างน้อยเท่านี้ถ้า H₀ เป็นจริง ปฏิเสธ H₀ เมื่อ p < α

การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่ได้พิสูจน์มัน หมายเพียงว่าข้อมูลไม่เป็นหลักฐานต่อต้านมันได้แรงพอ

การทดสอบและช่วงความเชื่อมั่นสอดคล้องกัน: การทดสอบสองด้านที่ 5% ปฏิเสธ H₀ พอดีเมื่อ μ₀ อยู่นอกช่วง 95% x̄ ± 1.96 · σ/√n

ตรวจสอบตนเอง การทดสอบ z สองด้านที่ α = 0.05 ให้ z = 1.8 คุณสรุปว่าอย่างไร
  1. H₀ พิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง
  2. ปฏิเสธ H₀
  3. ปฏิเสธ H₁ และยอมรับ H₀ ว่าพิสูจน์แล้ว
  4. ไม่ปฏิเสธ H₀

คำตอบ: ไม่ปฏิเสธ H₀. |1.8| น้อยกว่า 1.96 ผลจึงไม่มีนัยสำคัญและไม่ปฏิเสธ H₀ นั่นไม่ได้พิสูจน์ H₀ หลักฐานเพียงแต่ไม่แรงพอ

4วิธีทำทีละขั้น

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นแบบด้านเดียวหรือสองด้าน
  2. เลือก z (ทราบ σ) หรือ t (ทราบเฉพาะ s, df = n − 1)
  3. คำนวณความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน σ/√n หรือ s/√n
  4. คำนวณสถิติทดสอบ (x̄ − μ₀) / ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
  5. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  6. ระบุข้อสรุปเป็นคำพูด ตามที่คำถามถาม

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

เครื่องจักรควรบรรจุขวด 500 mL โดยเฉลี่ย σ = 12 mL ตัวอย่าง 36 ขวดมีค่าเฉลี่ย 496 mL ทดสอบ H₀: μ = 500 เทียบกับ H₁: μ ≠ 500 ที่ α = 0.05

1

สมมติฐาน

H₀: μ = 500 mL H₁: μ ≠ 500 mL เป็นแบบสองด้าน ค่าวิกฤตจึงเป็น ±1.96

2

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

ทราบ σ จึงใช้ z

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

ตัวสถิติทดสอบ

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

เปรียบเทียบ

−1.9601.962.5%2.5%95%z = −2

|−2| = 2 มากกว่า 1.96 z จึงอยู่ในเขตปฏิเสธที่แรเงา

5

ตรวจด้วยช่วง

496 ± 1.96 · 2 = [492.08, 499.92]

ค่า 500 อยู่นอกช่วง 95% ช่วงจึงให้การตัดสินใจเดียวกัน

คำตอบ

z = −2 ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5%: ปริมาณบรรจุเฉลี่ยของเครื่องต่างจาก 500 mL

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้ค่าวิกฤตด้านเดียว (1.645) สำหรับการทดสอบสองด้าน หรือกลับกัน
  • กล่าวว่า H₀ เป็นจริงแล้วทั้งที่เพียงไม่ปฏิเสธ
  • ลืม √n ในความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
  • เขียน x̄ − μ₀ กลับด้าน ซึ่งกลับเครื่องหมายของ z
  • ใช้ z เมื่อทราบเฉพาะ s ของตัวอย่างขนาดเล็ก
ตรวจสอบตนเอง การทดสอบด้านเดียวที่มี H₁: μ > μ₀ ที่ α = 0.05 ให้ z = 1.8 คุณสรุปว่าอย่างไร
  1. ปฏิเสธ H₀ เพราะ 1.8 > 1.645
  2. ปฏิเสธ H₀ เพราะ z เป็นบวก
  3. ไม่ปฏิเสธ H₀ เพราะ 1.8 < 1.96
  4. ไม่ปฏิเสธ H₀ เพราะ 1.8 < 2.576

คำตอบ: ปฏิเสธ H₀ เพราะ 1.8 > 1.645. ด้านเดียวที่ 5% ใส่ 5% ทั้งหมดไว้ที่หางเดียว ค่าวิกฤตจึงเป็น 1.645 การเปรียบเทียบกับ 1.96 ใช้ค่าสองด้านอย่างผิด ๆ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: สถิติ z ทราบ σ คำนวณ z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
  • ปานกลาง: สถิติ t ให้เฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s คำนวณ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)
  • ยาก: ช่วงความเชื่อมั่น หาขอบล่างหรือขอบบนของ x̄ ± z · σ/√n ที่ 95% หรือ 99%

ตรวจอย่างเร็ว: ถ้า x̄ ต่ำกว่า μ₀ สถิติทดสอบต้องเป็นลบ

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
z −1.9601.96

เครื่องจักรควรบรรจุขวดเฉลี่ย 100 mL ทราบว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 4 mL ตัวอย่างขวด 81 ขวดมีค่าเฉลี่ย 99.6 mL หาตัวสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ = 100

μ₀ = 100 mLx̄ = 99.6 mLσ = 4 mLn = 81

จงหา z

แสดงคำใบ้
  1. ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหารด้วย √n
  2. SE = 4/√81 = 0.4444.
  3. จากนั้นหารผลต่าง x̄ − μ₀ ด้วยความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน คงเครื่องหมายไว้
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

ตัวสถิติทดสอบ

z = (99.6 − 100)/0.4444 = −0.9

คำตอบ

z = −0.9

|z| < 1.96 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
t −1.99801.998

ตัวอย่างนักเรียน 64 คนมีคะแนนเฉลี่ย 504.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 15 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 500

μ₀ = 500x̄ = 504.5s = 15n = 64

จงหา t

แสดงคำใบ้
  1. ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหารด้วย √n
  2. SE = 15/√64 = 1.875.
  3. จากนั้นหารผลต่าง x̄ − μ₀ ด้วยความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน คงเครื่องหมายไว้
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

ตัวสถิติทดสอบ

t = (504.5 − 500)/1.875 = 2.4

คำตอบ

t = 2.4
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

ตัวอย่างที่ 3ยาก
z −2.57602.576

ตัวอย่างการวัด 64 ค่ามีค่าเฉลี่ย 80 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 20 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

จงหา L

แสดงคำใบ้
  1. ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z*·σ/√n
  2. z* = 2.576 สำหรับ 99%.
  3. σ/√n = 2.5.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·20/√64 = 6.44

ขีดจำกัดของช่วง

L = 80 − 6.44 = 73.56

คำตอบ

L = 73.56

คำถามและคำตอบ

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น คืออะไร

เครื่องจักรควรบรรจุขวด 500 mL โดยเฉลี่ย ตัวอย่างขวดมีค่าเฉลี่ย 496 mL เครื่องผิดปกติ หรือเป็นเพียงความบังเอิญ

คุณสมมติว่า H₀ เป็นจริงและถามว่า ตัวอย่างนี้ผิดปกติเพียงใด ถ้ามันผิดปกติมาก คุณปฏิเสธ H₀

จะแก้โจทย์ การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น มีอะไรบ้าง
  • ใช้ค่าวิกฤตทางเดียวกับการทดสอบสองทาง
  • กล่าวว่า H₀ เป็นจริงแล้วทั้งที่เพียงไม่ปฏิเสธ
  • ลืม √n ในความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
แบบฝึกหัด การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: สถิติ z
  • ปานกลาง: สถิติ t
  • ยาก: ช่วงความเชื่อมั่น

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ช่วงความเชื่อมั่น

เรียนต่อด้วย

การทดสอบไคสแควร์

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณการทดสอบ tเครื่องคำนวณค่า pเครื่องคำนวณ ANOVA ทางเดียว

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยาสถิติเบื้องต้นสถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติเวชปฏิบัติอิงหลักฐานโจทย์ฝึก AP Statisticsฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น พร้อมเฉลย
ฝึก การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น ฟรีฝึก การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร