สมการเชิงอนุพันธ์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: จะแก้โจทย์ สมการเชิงอนุพันธ์ ทีละขั้นได้อย่างไร

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

Q: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน สมการเชิงอนุพันธ์ มีอะไรบ้าง

นั่นคือรากอีกค่าหนึ่งที่ไกลจากศูนย์กว่า พจน์ของมันหมดไปเร็วกว่า r² + br + c = 0 ที่ b และ c เป็นบวกมีรากเป็นลบ −b/2 คือจุดกึ่งกลางของราก ไม่ใช่ราก

Q: แบบฝึกหัด สมการเชิงอนุพันธ์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: การเติบโตและการสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล ปานกลาง: กฎการเย็นตัวของนิวตัน ยาก: สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด สมการเชิงอนุพันธ์ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: การเติบโตและการสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล, กฎการเย็นตัวของนิวตัน, สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

ระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วงถูกอธิบายด้วย y″ + 4.8y′ + 4y = 0 จงเทียบกับ y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 และหาอัตราส่วนการหน่วง ζ

y″ + 4.8y′ + 4y = 0

โจทย์ถัดไป →

ฝึก สมการเชิงอนุพันธ์ ฟรี ฝึก สมการเชิงอนุพันธ์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายการเติบโตและการสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล
ปานกลางกฎการเย็นตัวของนิวตัน
ยากสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

สูตรสำคัญ

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

เรียนรู้ สมการเชิงอนุพันธ์ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: อนุพันธ์, อินทิกรัล

1สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร

สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation) เชื่อมปริมาณหนึ่งกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวมันเอง อธิบายว่าบางสิ่งเปลี่ยนอย่างไร ไม่ใช่ว่าเป็นอะไร

แบคทีเรียแบ่งตัว กลุ่มที่ใหญ่กว่าจึงโตเร็วกว่า อัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนกับจำนวนเซลล์ N:

dN/dt = k · N

ในที่นี้ dN/dt คืออนุพันธ์ของ N เทียบกับเวลา t และ k คือค่าคงตัวอัตรา เมื่อ k = 0.4 h⁻¹ และ N = 1000 เซลล์ กลุ่มโตขึ้น 400 เซลล์ต่อชั่วโมง ณ ขณะนั้น

การแก้สมการหมายถึงการหาฟังก์ชัน N(t) เอง คุณยังต้องมีค่าเริ่มต้น เช่น N(0) = 200 เรียกว่าเงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition)

ตรวจสอบตนเอง ประชากรเป็นไปตาม dN/dt = 0.2 · N ขณะนี้ N = 500 โตเร็วเท่าใด

0.2 ต่อชั่วโมง
100 ต่อชั่วโมง
2500 ต่อชั่วโมง
500 ต่อชั่วโมง

คำตอบ: 100 ต่อชั่วโมง. แทนตัวเลขในสมการ: dN/dt = 0.2 · 500 = 100 การหาร 500 ด้วย 0.2 ได้ 2500 ซึ่งใช้ k กลับด้าน

2การเติบโตและการสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล

สมการ dy/dt = k·y มีผลเฉลยเดียวกันเสมอ คือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล:

y(t) = y₀ · e^kt

ในที่นี้ y₀ คือค่าที่ t = 0 k เป็นบวกหมายถึงการเติบโต สำหรับการสลาย สมการคือ dy/dt = −k·y และผลเฉลยคือ y = y₀e^−kt

การสลายกัมมันตรังสีมักให้เป็นครึ่งชีวิต (half-life) t_½: เวลาที่สารเหลือครึ่งหนึ่ง ค่าคงตัวอัตราได้จากมัน:

k = ln 2 / t_½

เพื่อหาเวลา ให้หาลอการิทึมธรรมชาติของทั้งสองข้าง:

t = ln(y / y₀) / k

ตัวอย่างเช่น เซลล์ 200 เซลล์ที่เติบโตด้วย k = 0.4 h⁻¹ ถึง 1000 เซลล์หลัง t = ln(5)/0.4 ≈ 4.02 h

ตรวจสอบตนเอง สารหนึ่งมีครึ่งชีวิต 10 วัน คุณเริ่มด้วย 80 mg เหลือเท่าใดหลัง 20 วัน

0 mg
20 mg
40 mg
60 mg

คำตอบ: 20 mg. 20 วันคือสองครึ่งชีวิต: 80 → 40 → 20 mg ส่วน 0 mg มาจากการคิดว่าสองครึ่งเท่ากับทั้งหมด แต่ปริมาณลดลงครึ่งหนึ่งทุกครั้ง

3การเย็นลงและสมการเชิงเส้น

กฎการเย็นตัวของนิวตัน: วัตถุร้อนเย็นลงเร็วขึ้นเมื่อร้อนกว่าห้องมาก เมื่อให้อุณหภูมิห้องเป็น T_a:

dT/dt = −k · (T − T_a) ⇒ T(t) = T_a + (T₀ − T_a) · e^−kt

ความต่าง T − T_a สลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล อุณหภูมิจึงเคลื่อนเข้าหาอุณหภูมิห้องและไม่ต่ำกว่านั้น

เพื่อหา k จากการวัดหนึ่งครั้ง ใส่ค่าที่ทราบแล้วหา ln: k = −ln[(T₁ − T_a)/(T₀ − T_a)] / t₁

สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งมีรูป y′ + p(x)·y = q(x) คูณด้วยตัวคูณอินทิเกรต (integrating factor) μ:

μ = e^{∫p dx}, (μ·y)′ = μ·q

จากนั้นอินทิเกรตทั้งสองข้างและหารด้วย μ สำหรับ p = 2/x, μ = e^{2 ln x} = x²

ตรวจสอบตนเอง ชา 90 °C ถูกวางในห้อง 20 °C หลังเวลานานมาก อุณหภูมิจะเข้าใกล้เท่าใด

0 °C
20 °C
55 °C
90 °C

คำตอบ: 20 °C. พจน์ (T₀ − T_a)e^−kt เข้าสู่ 0 T จึงเข้าใกล้ T_a = 20 °C 0 °C จะเป็นคำตอบถ้าลืมอุณหภูมิห้อง

4วิธีทำทีละขั้น

จำแนกชนิด: dy/dt = ky (การเติบโตหรือการสลาย) การเย็นตัวของนิวตัน หรือ y′ + p(x)y = q(x)
เขียนผลเฉลยมาตรฐานสำหรับชนิดนั้น
ใช้ข้อมูลที่ให้มาหาค่าคงตัว: y₀ จากจุดเริ่ม k จากครึ่งชีวิตหรือการวัดครั้งที่สอง
ตอบคำถาม: ใส่เวลาเพื่อหาค่า หรือใช้ ln เพื่อหาเวลา
ตรวจหน่วยของ k (h⁻¹, min⁻¹) กับหน่วยของ t

สำหรับสมการเชิงเส้น: หา μ อินทิเกรต (μy)′ = μq บวกค่าคงตัว C แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นหา C

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

สารติดตามกัมมันตรังสีมีครึ่งชีวิต 8 วัน ตัวอย่างมี 60 mg ตอนเริ่ม การสลายเป็นไปตาม dm/dt = −k·m เหลือ m เท่าใดหลัง 12 วัน

จำแนกชนิด

นี่คือการสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล ผลเฉลยจึงเป็น:

m(t) = m₀ · e^−kt, m₀ = 60 mg

หา k จากครึ่งชีวิต

k = ln 2 / 8 = 0.6931 / 8 = 0.08664 วัน⁻¹

ใส่เวลา

k · t = 0.08664 · 12 = 1.0397

m = 60 · e^−1.0397 = 60 · 0.3536 = 21.21 mg

ตรวจสอบคำตอบ

12 วันคือ 1.5 ครึ่งชีวิต หลัง 8 วันเหลือ 30 mg และหลัง 16 วันเหลือ 15 mg ดังนั้น 21.2 mg อยู่ระหว่างสองค่านั้น ตามที่คาด

60 · 0.5^1.5 = 21.21 mg

คำตอบ

m ≈ 21.2 mg เหลือหลัง 12 วัน

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ในกฎการเย็นตัวของนิวตัน ลืมลบและบวกกลับอุณหภูมิห้อง T_a
ใช้เลขชี้กำลังบวกสำหรับการสลาย ปริมาณจึงเพิ่มแทนที่จะลด
ใช้ log₁₀ แทนลอการิทึมธรรมชาติ ln
ปนหน่วยเวลา เช่น k ใน min⁻¹ กับ t ในชั่วโมง
เมื่อใช้ตัวคูณอินทิเกรต คูณ μ เฉพาะด้านซ้าย

ตรวจสอบตนเอง ชิ้นส่วนที่ 80 °C เย็นลงในห้อง 20 °C ที่เวลา t บางเวลา e^−kt = 0.5 อุณหภูมิของมันตอนนั้นเป็นเท่าใด

30 °C
40 °C
50 °C
60 °C

คำตอบ: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0.5 = 20 + 30 = 50 °C การลด 80 ลงครึ่งหนึ่งโดยตรงได้ 40 °C ซึ่งลืมอุณหภูมิห้อง

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: การเติบโตและการสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล หาปริมาณหลังเวลาหนึ่ง หรือเวลาที่ถึงปริมาณหนึ่ง มักจากครึ่งชีวิต
ปานกลาง: กฎการเย็นตัวของนิวตัน ใช้การวัดหนึ่งครั้งหา k แล้วหาอุณหภูมิหรือเวลา
ยาก: สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง เช่น y′ + 2y/x = 3 เมื่อ y(1) = 1 ใช้ตัวคูณอินทิเกรตและหา y ที่ x อื่น

ตรวจอย่างรวดเร็ว: คำตอบของการสลายและการเย็นตัวต้องอยู่ระหว่างค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้าย (0 หรืออุณหภูมิห้อง)

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

สำหรับสมการ y″ + 4y′ + 3y = 0 จงหารากของสมการลักษณะเฉพาะ r ที่ใกล้ศูนย์ที่สุด ซึ่งกำหนดว่าคำตอบหมดไปช้าเพียงใด

y″ + 4y′ + 3y = 0

จงหา r

แสดงคำใบ้

แทน y = e^rt
r² + 4r + 3 = 0.
แยกตัวประกอบหรือใช้สูตรกำลังสอง

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

สมการลักษณะเฉพาะ

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

ราก

r = −1, r = −3

ใกล้ศูนย์ที่สุด: r = −1

คำตอบ

r = −1

คำตอบทั่วไปคือ y = A·e^−1t + B·e^−3t

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 81 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 21 °C หลังผ่านไป 5 min อุณหภูมิเท่ากับ 73 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 50 °C

T₀ = 81 °CT_a = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

จงหา t (min)

แสดงคำใบ้

ก่อนอื่นหา k จากค่าที่วัดได้ที่ t = 5 min
k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹.
t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(60/29)/0.02862 = 25.4 min

คำตอบ

t = 25.4 min

ตัวอย่างที่ 3ยาก

จงแก้ y′ + y = 4e^−2t โดย y(0) = 4 จงหา y(1)

y′ + y = 4e^−2ty(0) = 4

จงหา y(1)

แสดงคำใบ้

ตัวคูณอินทิเกรตคือ μ = e^t
(e^ty)′ = 4e^−t → e^ty = 4/(−1)·e^−t + C.
y = −4·e^−2t + C·e^−t. ใช้ y(0) หาค่า C

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^t

(e^ty)′ = 4e^−t

คำตอบทั่วไป

y = 4/(−1)·e^−2t + C·e^−t = −4·e^−2t + C·e^−t

เงื่อนไขเริ่มต้น

4 = −4 + C → C = 8

คำนวณค่า

y(1) = −4·0.1353 + 8·0.3679 = 2.402

คำตอบ

y(1) = 2.402

คำถามและคำตอบ

สมการเชิงอนุพันธ์ คืออะไร

จะแก้โจทย์ สมการเชิงอนุพันธ์ ทีละขั้นได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน สมการเชิงอนุพันธ์ มีอะไรบ้าง

นั่นคือรากอีกค่าหนึ่งที่ไกลจากศูนย์กว่า พจน์ของมันหมดไปเร็วกว่า
r² + br + c = 0 ที่ b และ c เป็นบวกมีรากเป็นลบ
−b/2 คือจุดกึ่งกลางของราก ไม่ใช่ราก

แบบฝึกหัด สมการเชิงอนุพันธ์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: การเติบโตและการสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล
ปานกลาง: กฎการเย็นตัวของนิวตัน
ยาก: สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

อนุพันธ์อินทิกรัล

เรียนต่อด้วย

การแปลงลาปลาซ วิธีเชิงตัวเลข

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณครึ่งชีวิตและการสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

คณิตศาสตร์วิศวกรรม สมการเชิงอนุพันธ์คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 แคลคูลัส 2 วิธีเชิงตัวเลข โจทย์ฝึก AP Calculus

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิต อนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุด อินทิกรัล ลำดับและอนุกรม แคลคูลัสหลายตัวแปร จำนวนเชิงซ้อน วิธีเชิงตัวเลข เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็น สถิติเชิงพรรณนา การแจกแจงปกติ ช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน สมการเชิงอนุพันธ์ พร้อมเฉลย