สมการเชิงอนุพันธ์: แบบฝึกหัดและข้อสอบเก่า

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและการประยุกต์: การเติบโตและการสลายตัว กฎการเย็นตัวของนิวตัน โจทย์การผสม และสมการเชิงเส้นที่ใช้ตัวคูณปริพันธ์ รวมทั้งวิธีของออยเลอร์และฮอยน์สำหรับสมการที่ไม่มีคำตอบเป็นสูตร

ฝึกรายวิชานี้ฟรี ฝึกรายวิชานี้ทำข้อสอบจำลองโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

ชุดสรุปเร่งรัด (PDF)สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำ และโจทย์ฝึกพร้อมเฉลยละเอียด พร้อมพิมพ์

หัวข้อในรายวิชานี้

เทคนิคทำข้อสอบวิชา สมการเชิงอนุพันธ์

ระบุชนิดก่อน: แยกตัวแปรได้ เชิงเส้น หรือแบบจำลองมาตรฐาน เช่น การเติบโตหรือการเย็นตัว
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นหาค่าคงตัวในตอนท้าย
ตรวจคำตอบโดยแทนกลับลงในสมการ

ตัวอย่างวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์ง่าย

สำหรับสมการ y″ + 4y′ + 3y = 0 จงหารากของสมการลักษณะเฉพาะ r ที่ใกล้ศูนย์ที่สุด ซึ่งกำหนดว่าคำตอบหมดไปช้าเพียงใด

y″ + 4y′ + 3y = 0

จงหา r

แสดงคำใบ้

แทน y = e^rt
r² + 4r + 3 = 0.
แยกตัวประกอบหรือใช้สูตรกำลังสอง

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

สมการลักษณะเฉพาะ

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

ราก

r = −1, r = −3

ใกล้ศูนย์ที่สุด: r = −1

คำตอบ

r = −1

คำตอบทั่วไปคือ y = A·e^−1t + B·e^−3t

อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀² x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀² x·cos x dx

จงหา I

แสดงคำใบ้

ให้ u = x และ dv = cos x dx
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

คำตอบ

I = 0.4024

การฝึกทำงานอย่างไร

“ฝึกรายวิชานี้” ผสมโจทย์จากทุกหัวข้อของวิชา เหมือนข้อสอบจริง
โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ข้อสอบจำลองจับเวลาและไม่มีคำใบ้ และคุณจะได้คะแนนและการทบทวนฉบับเต็มเมื่อจบ

เครื่องคำนวณสำหรับรายวิชานี้

เครื่องคำนวณครึ่งชีวิตและการสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมขั้นตอน เครื่องคำนวณอินทิกรัล (จำกัดเขตและไม่จำกัดเขต)

รายวิชาที่เกี่ยวข้อง

คณิตศาสตร์วิศวกรรม โจทย์ฝึก AP Calculus แคลคูลัส 1 คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 แคลคูลัส 2 วิธีเชิงตัวเลข สถิติเบื้องต้น สถิติ 2: การอนุมานเชิงสถิติ