เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมขั้นตอน

กรอกค่าของคุณ คำตอบและวิธีทำฉบับเต็มจะอัปเดตขณะที่คุณพิมพ์

ผลลัพธ์

f(x)x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2
f′(x)2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
f(1)0.509
f′(1)−2.423
เส้นสัมผัสy = −2.423x + 2.932

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของ x และดูว่าแต่ละกฎถูกใช้อย่างไร เครื่องคำนวณจัดการพหุนาม เลขยกกำลังและราก เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติและตรีโกณมิติผกผัน และรวมกันด้วยกฎผลบวก ผลคูณ ผลหาร และลูกโซ่ พร้อมทำผลลัพธ์ให้อย่างง่ายไปตามทาง ยังหาอนุพันธ์อันดับสองและสาม และคำนวณอนุพันธ์กับเส้นสัมผัส ณ จุดหนึ่งได้

เฉลยทีละขั้นตอน

อ่านฟังก์ชัน

f(x) = x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2

กฎผลบวก: หาอนุพันธ์ทีละพจน์

d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)
d/dx[ln(x)/x] = (1 − ln(x))/x2
d/dx[e−x2] = −2x·e−x2
f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

กฎผลคูณ

(uv)′ = u′v + uv′
u = x2, u′ = 2x
v = sin(3x), v′ = 3cos(3x)
d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + x2·(3cos(3x)) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)

กฎลูกโซ่

d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
u = 3x, u′ = 3
d/dx[sin(3x)] = cos(3x)·3 = 3cos(3x)

กฎผลหาร

(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
u = ln(x), u′ = 1/x
v = x, v′ = 1
d/dx[ln(x)/x] = ((1/x)·x − ln(x)·1)/x2 = (1 − ln(x))/x2

กฎลูกโซ่

d/dx[eu] = eu·u′
u = −x2, u′ = −2x
d/dx[e−x2] = e−x2·(−2x) = −2x·e−x2

กฎการหาอนุพันธ์ที่ใช้

d/dx[f + g] = f′ + g′
d/dx[c·f] = c·f′
d/dx[xn] = n·xn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
d/dx[ex] = ex
sin(u) → cos(u)
ln(u) → 1/u

ผลลัพธ์

f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

ประเมินที่จุดนั้น

f(1) = 0.509
f′(1) = −2.423
เส้นสัมผัส: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀) = 0.509 + (−2.423)·(x − 1)

สูตรสำคัญ

กฎกำลัง
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ
(uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีหาอนุพันธ์ทีละขั้นตอน

  1. แยกผลบวกเป็นพจน์ แล้วหาอนุพันธ์ของแต่ละพจน์แยกกัน (กฎผลบวก) ตัวประกอบคงที่คงอยู่ข้างหน้า (กฎตัวคูณคงที่)
  2. สำหรับเลขยกกำลังใช้กฎกำลัง d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹ ใช้ได้กับรากและส่วนกลับด้วย: √x = x^(1/2) และ 1/x² = x⁻²
  3. สำหรับผลคูณ u·v ใช้กฎผลคูณ (uv)′ = u′v + uv′ สำหรับผลหาร u/v ใช้กฎผลหาร (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
  4. สำหรับฟังก์ชันของฟังก์ชันอื่น เช่น sin(3x) หรือ e^(x²) ใช้กฎลูกโซ่: หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนอก คงข้างในไว้ แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของข้างใน
  5. ทำให้อย่างง่าย: รวมพจน์ที่คล้ายกันและตัดตัวประกอบร่วมระหว่างเศษกับส่วน

คำถามและคำตอบ

ฉันจะพิมพ์ฟังก์ชันอย่างไร

ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง และวงเล็บสำหรับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน: x^3 - 2x, sin(3x), e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x^2 + 1) ละเครื่องหมายคูณได้: 3x^2 sin(x) หมายถึง 3x²·sin(x) เขียน e^(2x) พร้อมวงเล็บ เพราะ e^2x จะถูกอ่านเป็น e²·x

รองรับฟังก์ชันอะไรบ้าง

sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, exp, ln, log (ฐาน 10) และ sqrt พร้อมการรวมกันใดก็ได้ของ +, −, ·, / และเลขยกกำลัง รวมถึงเลขยกกำลังอย่าง x^x ที่ทั้งฐานและเลขชี้กำลังมี x

ln กับ log ต่างกันอย่างไร

ln คือลอการิทึมธรรมชาติ ฐาน e โดย d/dx[ln x] = 1/x ในเครื่องคำนวณนี้ log หมายถึงลอการิทึมฐาน 10 ซึ่งอนุพันธ์คือ 1/(x·ln 10)

เครื่องคำนวณหาเส้นสัมผัสอย่างไร

ป้อนจุด x₀ เส้นสัมผัสคือ y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀): ผ่านจุดบนเส้นโค้งและมีอนุพันธ์เป็นความชัน

คำตอบอยู่ในรูปที่ง่ายที่สุดเสมอหรือไม่

ผลลัพธ์ถูกทำให้อย่างง่ายโดยรวมพจน์ที่คล้ายกัน รวมเลขยกกำลัง และตัดตัวประกอบร่วม แต่อาจเขียนต่างจากตำราของคุณ เช่น cos(x)/sin(x) แทน cot(x) ทั้งสองรูปเท่ากัน

ลองทำเอง

อนุพันธ์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอนวิธีแก้โจทย์อนุพันธ์ใบงาน อนุพันธ์ พร้อมเฉลย

ฝึกอนุพันธ์

เครื่องคำนวณให้คำตอบ แต่ในการสอบคุณต้องมีวิธีทำ จึงควรฝึกกับโจทย์ใหม่ คำใบ้ และเฉลยละเอียด

ฝึก อนุพันธ์ ฟรีฝึก อนุพันธ์ เลยตัวอย่างวิธีทำ
</> ฝัง

ฟรีสำหรับครูและโรงเรียน: วางโค้ดนี้ในหน้ารายวิชา LMS หรือเว็บไซต์ของคุณ นักศึกษาใช้เครื่องคำนวณและวิธีทำทีละขั้นได้โดยไม่ต้องมีบัญชี

เครื่องคำนวณอื่น ๆ

เครื่องคำนวณคะแนนมาตรฐาน z และความน่าจะเป็นปกติเครื่องคำนวณช่วงความเชื่อมั่นเครื่องคำนวณขนาดตัวอย่างเครื่องคำนวณค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเครื่องคำนวณการถดถอยเชิงเส้นเครื่องคำนวณความเหมาะสมของไคสแควร์เครื่องคำนวณดีเทอร์มินันต์และอินเวอร์สของเมทริกซ์เครื่องคำนวณการแจกแจงปกติเครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามเครื่องคำนวณการแจกแจงปัวซง