เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินาม
กรอกค่าของคุณ คำตอบและวิธีทำฉบับเต็มจะอัปเดตขณะที่คุณพิมพ์
ผลลัพธ์
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.02825 | 0.02825 |
| 1 | 0.1211 | 0.1493 |
| 2 | 0.2335 | 0.3828 |
| 3 | 0.2668 | 0.6496 |
| 4 | 0.2001 | 0.8497 |
| 5 | 0.1029 | 0.9527 |
| 6 | 0.03676 | 0.9894 |
| 7 | 0.009002 | 0.9984 |
| 8 | 0.001447 | 0.9999 |
| 9 | 0.0001378 | 1 |
| 10 | 5.905 × 10⁻⁶ | 1 |
คำนวณความน่าจะเป็นทวินามสำหรับการทดลองอิสระ n ครั้งที่แต่ละครั้งสำเร็จด้วยความน่าจะเป็น p ได้แก่ สำเร็จพอดี x ครั้ง ไม่เกิน x ครั้ง อย่างน้อย x ครั้ง น้อยกว่า x ครั้ง หรือมากกว่า x ครั้ง เครื่องคำนวณแสดงสูตรทวินาม ทุกพจน์ที่นำมาบวก (หรือส่วนเติมเต็มที่สั้นกว่า) ค่าเฉลี่ย np และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน √(np(1 − p)) เมื่อ n ไม่เกิน 30 จะแสดงการแจกแจงทั้งหมดในตารางด้วย
เฉลยทีละขั้นตอน
สูตรความน่าจะเป็นแบบทวินาม
บวกความน่าจะเป็น
ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
สูตรสำคัญ
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
วิธีคำนวณความน่าจะเป็นทวินาม
- ตรวจว่าสถานการณ์เป็นทวินามจริง คือ มีจำนวนครั้งของการทดลอง n คงที่ แต่ละครั้งมีผลลัพธ์สองแบบ ความน่าจะเป็นที่สำเร็จ p เท่ากันทุกครั้ง และการทดลองเป็นอิสระต่อกัน
- สำหรับสำเร็จพอดี x ครั้ง ใช้ P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ โดย C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) นับจำนวนลำดับที่ความสำเร็จเกิดขึ้นได้
- สำหรับ “ไม่เกิน x” ให้บวก P(X = 0) ไปจนถึง P(X = x) สำหรับ “อย่างน้อย x” ให้บวก P(X = x) ไปจนถึง P(X = n)
- ถ้าผลรวมมีหลายพจน์ ให้ใช้ส่วนเติมเต็ม: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)
- แปลความหมายของถ้อยคำให้ถูกต้อง: “น้อยกว่า 4” คือ X ≤ 3 และ “มากกว่า 4” คือ X ≥ 5
คำถามและคำตอบ
ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงทวินามคืออะไร
ค่าเฉลี่ยคือ μ = np และความแปรปรวนคือ σ² = np(1 − p) ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ σ = √(np(1 − p)) เมื่อ n = 10 และ p = 0.3 จะได้ μ = 3 และ σ = 1.449
“อย่างน้อย” กับ “มากกว่า” ต่างกันอย่างไร
“อย่างน้อย 3” รวม 3 ด้วย: P(X ≥ 3) ส่วน “มากกว่า 3” ไม่รวม: P(X > 3) = P(X ≥ 4) สำหรับการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง สองค่านี้ต่างกัน จึงต้องเลือกให้ตรงกับถ้อยคำของโจทย์
ทำไมเครื่องคำนวณจึงใช้ส่วนเติมเต็มในบางครั้ง
เนื่องจากความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมกันได้ 1 จึงได้ P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1) เมื่อส่วนเติมเต็มมีพจน์น้อยกว่า การคำนวณด้วยมือจะเร็วกว่า และขั้นตอนจะแสดงวิธีนั้น ผลลัพธ์ที่ได้เท่ากัน
n มีค่าได้มากแค่ไหน
ได้ถึง 10 000 ครั้ง พจน์ต่าง ๆ คำนวณด้วยลอการิทึม ตัวประกอบเชิงแฟกทอเรียลขนาดใหญ่จึงไม่ล้น และความน่าจะเป็นยังคงแม่นยำ
เมื่อไรที่การแจกแจงทวินามไม่ใช่แบบจำลองที่เหมาะสม
เมื่อการทดลองไม่เป็นอิสระต่อกันหรือ p เปลี่ยนไป เช่น การสุ่มโดยไม่ใส่คืนจากกลุ่มเล็ก ๆ ซึ่งเป็นไปตามการแจกแจงไฮเพอร์จีโอเมตริก เมื่อ n มากและ p น้อย การแจกแจงปัวซงที่มี λ = np เป็นค่าประมาณที่ดี
ลองทำเอง
ฝึกความน่าจะเป็น
เครื่องคำนวณให้คำตอบ แต่ในการสอบคุณต้องมีวิธีทำ จึงควรฝึกกับโจทย์ใหม่ คำใบ้ และเฉลยละเอียด