อนุพันธ์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด อนุพันธ์ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: กฎกำลัง, กฎลูกโซ่และกฎผลคูณ, เส้นสัมผัสและค่าสุดขีด

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
xyx = −2

ให้ f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9 หาความชันของกราฟที่ x = −2 คือ f′(−2)

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
โจทย์ถัดไป →
ฝึก อนุพันธ์ ฟรีฝึก อนุพันธ์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายกฎกำลัง
  2. ปานกลางกฎลูกโซ่และกฎผลคูณ
  3. ยากเส้นสัมผัสและค่าสุดขีด

วิธีแก้โจทย์อนุพันธ์

  1. ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
  2. ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
  3. ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
  4. ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมอนุพันธ์ของฟังก์ชันในในกฎลูกโซ่
  • ลำดับผิดในกฎผลหาร
  • ถือว่าค่าคงตัวคูณเป็นผลคูณ

สูตรสำคัญ

กฎกำลัง
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ
(uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

เรียนรู้ อนุพันธ์ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ลิมิต

1อนุพันธ์คืออะไร

อนุพันธ์วัดว่าบางสิ่งเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด ถ้าตำแหน่งของรถเปลี่ยน 50 km ทุกชั่วโมง ความเร็วของมันคือ 50 km/h นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง

บนกราฟ อนุพันธ์ที่จุดหนึ่งคือความชันของเส้นโค้งตรงนั้น: มันขึ้นหรือลงชันเพียงใดเมื่อซูมเข้าไปใกล้มาก

ความชันนั้นคือความชันของเส้นสัมผัส เส้นตรงที่แตะเส้นโค้งที่จุดนั้นพอดี

xy(1, 1)m = 2

สำหรับ y = x² เส้นสัมผัสที่ x = 1 มีความชัน 2 เราเขียน f′(1) = 2 อ่านว่า “เอฟไพรม์ของ 1”

  • อนุพันธ์เป็นบวก: กราฟขึ้น
  • อนุพันธ์เป็นลบ: กราฟลง
  • อนุพันธ์เป็นศูนย์: กราฟราบตรงนั้น เช่นที่ยอดหรือก้น
ตรวจสอบตนเอง ณ จุดที่กราฟของ f ลดลง อนุพันธ์เป็น…
  1. บวก
  2. ลบ
  3. ศูนย์
  4. ไม่นิยาม

คำตอบ: ลบ. อนุพันธ์คือความชัน กราฟที่ลดลงจากซ้ายไปขวามีความชันเป็นลบ

2กฎพื้นฐาน

คุณไม่ต้องใช้ลิมิตทุกครั้ง กฎไม่กี่ข้อครอบคลุมฟังก์ชันส่วนใหญ่

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

นี่คือกฎกำลัง: นำเลขชี้กำลังมาไว้ข้างหน้าและลดเลขชี้กำลังลงหนึ่ง ดังนั้น (x³)′ = 3x² และ (x)′ = 1

  • ค่าคงที่เพียงตัวเดียวมีอนุพันธ์ 0: มันไม่เปลี่ยนแปลง
  • ตัวประกอบคงที่อยู่เหมือนเดิม: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x²
  • ในผลบวก ให้หาอนุพันธ์ของแต่ละพจน์แยกกัน

จำเหล่านี้ด้วย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x และ (cos x)′ = −sin x

ตรวจสอบตนเอง อนุพันธ์ของ 4x³ − 2x + 7 คืออะไร
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

คำตอบ: 12x² − 2. กฎกำลังกับแต่ละพจน์: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 และค่าคงที่ 7 ให้ 0

3กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

อีกสองกฎจัดการฟังก์ชันที่สร้างจากฟังก์ชันอื่น

กฎผลคูณ สำหรับฟังก์ชันสองตัวที่คูณกัน:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

กฎลูกโซ่ สำหรับฟังก์ชันที่อยู่ภายในอีกฟังก์ชัน: หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านนอก คงด้านในไว้ตามเดิม แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของด้านใน

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

กฎผลหารตามมาจากสองกฎนี้: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²

ตรวจสอบตนเอง อนุพันธ์ของ (2x + 5)³ คืออะไร
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

คำตอบ: 6(2x + 5)². ด้านนอก: 3(2x + 5)² ด้านใน: (2x + 5)′ = 2 คูณ: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)² การลืม 2 ด้านในเป็นความพลาดคลาสสิก

4วิธีทำทีละขั้น

  1. ดูโครงสร้าง: ผลบวกของพจน์ ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันภายในฟังก์ชัน
  2. เขียนรากและเศษส่วนเป็นเลขยกกำลังก่อน: √x = x1/2 และ 1/x² = x−2
  3. ใช้กฎจากด้านนอกเข้าไปด้านในทีละส่วน
  4. ลดรูปผลลัพธ์
  5. ถ้าโจทย์ถามค่า ให้แทนตัวเลขเฉพาะตอนท้าย

เพื่อหายอดหรือก้นของกราฟ (ค่าสุดขีด) ให้แก้ f′(x) = 0 อนุพันธ์อันดับสองบอกว่าเป็นแบบใด: f″ < 0 เป็นค่าสูงสุด f″ > 0 เป็นค่าต่ำสุด

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ให้ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 จงหาความชันที่ x = 0 และค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเฉพาะที่

1

หาอนุพันธ์ทีละพจน์

ใช้กฎกำลังกับทุกพจน์ ค่าคงที่ 1 หายไป

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

ความชันที่ x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

ดังนั้นเส้นสัมผัสที่ x = 0 ขึ้น 9 หน่วยต่อทุกหนึ่งหน่วยไปทางขวา

3

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

ตัวไหนคือค่าสูงสุด

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 เป็นลบ ดังนั้น x = 1 เป็นค่าสูงสุด f″(3) = 6 เป็นบวก ดังนั้น x = 3 เป็นค่าต่ำสุด

5

หาค่า

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

กราฟยืนยัน: ราบทั้งสองจุด ยอดที่ (1, 5) และก้นที่ (3, 1)

คำตอบ

f′(0) = 9 ค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่ (1, 5) ค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ (3, 1)

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านในในกฎลูกโซ่
  • เขียน (u · v)′ = u′ · v′ กฎผลคูณมีสองพจน์
  • ผิดลำดับในกฎผลหาร: ต้องเป็น u′v − uv′ ที่เศษ โดยมีเครื่องหมายลบ
  • แทนตัวเลขก่อนหาอนุพันธ์ ให้หาอนุพันธ์ก่อน แล้วค่อยแทนค่า
  • ถือตัวคูณคงที่เช่น 5x³ เป็นผลคูณ จริง ๆ ง่ายกว่านั้น: 5 อยู่เหมือนเดิม
ตรวจสอบตนเอง อนุพันธ์ของ √x คืออะไร
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

คำตอบ: 1/(2√x). √x = x1/2 ดังนั้นอนุพันธ์คือ ½x−1/2 = 1/(2√x) การเขียนรากเป็นเลขยกกำลังก่อนทำให้ง่าย

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: พหุนาม ใช้กฎกำลังและหาความชันที่ x ที่กำหนด
  • ปานกลาง: กฎลูกโซ่หรือกฎผลคูณ เช่น (2x + 5)⁵ หรือ x²·e−x ประเมินที่จุดหนึ่ง
  • ยาก: เส้นสัมผัสและค่าสุดขีด แก้ f′(x) = 0 และตัดสินว่าจุดใดเป็นค่าสูงสุด

ตรวจสอบเร็ว ๆ สำหรับโจทย์ความชัน: นึกภาพกราฟในหัว ถ้ามันขึ้นตรงนั้น คำตอบของคุณควรเป็นบวก

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
xyx = 1

ให้ f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7 หาความชันของกราฟที่ x = 1 คือ f′(1)

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

จงหา f′(1)

แสดงคำใบ้
  1. หาอนุพันธ์ทีละพจน์ด้วยกฎกำลัง (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ ค่าคงตัวหายไป
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. จากนั้นแทน x = 1
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

หาอนุพันธ์ทีละพจน์

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

แทนค่า

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

คำตอบ

f′(1) = −6
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
xyx = 1

ให้ f(x) = x3·e−x หา f′(1)

f(x) = x3·e−xx = 1

จงหา f′(1)

แสดงคำใบ้
  1. กฎผลคูณโดย u = x3 และ v = e−x
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

แทนค่า

f′(1) = 0.3679·(3 + (−1)) = 0.7358

คำตอบ

f′(1) = 0.7358
ตัวอย่างที่ 3ยาก
xy

ให้ f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 6 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 6

จงหา x

แสดงคำใบ้
  1. ที่จุดสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ อนุพันธ์เป็นศูนย์
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. สำหรับพหุนามกำลังสามที่พจน์ x³ เป็นบวก จุดสูงสุดมาก่อน (x น้อยกว่า) และจุดต่ำสุดมาทีหลัง
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

อนุพันธ์

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 3 หรือ x = 6

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 27: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

คำตอบ

x = 6

คำถามและคำตอบ

อนุพันธ์ คืออะไร

อนุพันธ์วัดว่าบางสิ่งเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด ถ้าตำแหน่งของรถเปลี่ยน 50 km ทุกชั่วโมง ความเร็วของมันคือ 50 km/h นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง

บนกราฟ อนุพันธ์ที่จุดหนึ่งคือความชันของเส้นโค้งตรงนั้น: มันขึ้นหรือลงชันเพียงใดเมื่อซูมเข้าไปใกล้มาก

จะแก้โจทย์ อนุพันธ์ ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
  2. ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
  3. ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
  4. ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน อนุพันธ์ มีอะไรบ้าง
  • ลืมอนุพันธ์ของฟังก์ชันในในกฎลูกโซ่
  • ลำดับผิดในกฎผลหาร
  • ถือว่าค่าคงตัวคูณเป็นผลคูณ
แบบฝึกหัด อนุพันธ์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: กฎกำลัง
  • ปานกลาง: กฎลูกโซ่และกฎผลคูณ
  • ยาก: เส้นสัมผัสและค่าสุดขีด

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ลิมิต

เรียนต่อด้วย

อินทิกรัลแคลคูลัสหลายตัวแปรวิธีเชิงตัวเลขสมการเชิงอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดลำดับและอนุกรม

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมขั้นตอน

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

แคลคูลัส 1คณิตศาสตร์วิศวกรรมสมการเชิงอนุพันธ์โจทย์ฝึก AP Calculus

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตการหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนวิธีเชิงตัวเลขเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน อนุพันธ์ พร้อมเฉลย
ฝึก อนุพันธ์ ฟรีฝึก อนุพันธ์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร