วิธีเชิงตัวเลข: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด วิธีเชิงตัวเลข ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: การหารากและการประมาณค่าในช่วง, กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สัน, ออยเลอร์ ฮอยน์ และรุงเง–คุตตา

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
xyx₀ = 0

ใช้วิธีนิวตัน–ราฟสันกับ f(x) = e−x − x โดยมีค่าเริ่มต้น x₀ = 0 จงหา x2

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
โจทย์ถัดไป →
ฝึก วิธีเชิงตัวเลข ฟรีฝึก วิธีเชิงตัวเลข เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายการหารากและการประมาณค่าในช่วง
  2. ปานกลางกฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สัน
  3. ยากออยเลอร์ ฮอยน์ และรุงเง–คุตตา

วิธีแก้โจทย์วิธีเชิงตัวเลข

  1. สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
  2. สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
  3. สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
  4. สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • เก็บครึ่งที่ผิดของช่วงในวิธีแบ่งครึ่ง หรือนับขั้นผิด
  • เขียน x − f′/f แทน x − f/f′ ในนิวตัน–ราฟสัน
  • ให้จุดต่อภายในมีน้ำหนัก 1 ในกฎสี่เหลี่ยมคางหมู หรือใช้ซิมป์สันกับจำนวนแถบที่เป็นเลขคี่
  • ปัดค่าการวนซ้ำเร็วเกินไป
  • ทำขั้นออยเลอร์น้อยหรือมากไปหนึ่งขั้นเมื่อไปถึงเวลาสุดท้าย

สูตรสำคัญ

วิธีแบ่งครึ่ง
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

เรียนรู้ วิธีเชิงตัวเลข ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: อนุพันธ์, อินทิกรัล, สมการเชิงอนุพันธ์

1ทำไมต้องวิธีเชิงตัวเลข และวิธีแบ่งครึ่ง

สมการและอินทิกรัลจำนวนมากไม่มีสูตรสำหรับคำตอบ: x = cos x, ∫e−x²dx หรือสมการเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่ วิธีเชิงตัวเลขคำนวณคำตอบทีละขั้นตามความแม่นยำที่คุณต้องการ

วิธีแบ่งครึ่งหารากของ f(x) = 0 บนช่วง [a, b] ที่ f เปลี่ยนเครื่องหมาย หาจุดกึ่งกลาง c = (a + b)/2 และเก็บครึ่งที่เครื่องหมายยังเปลี่ยน

ตัวอย่าง: f(x) = x² − 2 บน [1, 2] c₁ = 1.5 ให้ f = 0.25 > 0 ดังนั้นเก็บ [1, 1.5] c₂ = 1.25 ให้ f = −0.4375 < 0 ดังนั้นเก็บ [1.25, 1.5] จากนั้น c₃ = 1.375

ทุกขั้นแบ่งช่วงเป็นครึ่งหนึ่ง ดังนั้นหลัง n ขั้นความกว้างคือ (b − a)/2ⁿ วิธีแบ่งครึ่งช้าแต่ใช้ได้เสมอเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมาย

ตรวจสอบตนเอง วิธีแบ่งครึ่งเริ่มบนช่วงยาว 1 หลัง 10 ขั้น ช่วงกว้างเท่าใด
  1. 1/100
  2. 1/1024
  3. 1/10
  4. 1/20

คำตอบ: 1/1024. ทุกขั้นลดลงครึ่งหนึ่ง: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0.001 การหารด้วย 10 หรือ 20 คือการมองการลดครึ่งเป็นการบวก

2นิวตัน–ราฟสัน

นิวตัน–ราฟสันตามเส้นสัมผัสลงไปถึงแกน x และใช้จุดตัดนั้นเป็นค่าเดาถัดไป:

xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
xx₀ = 2x₁ = 1.5√2f(x) = x² − 2

สำหรับ f(x) = x² − 2 ที่ f′(x) = 2x และ x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1.5, x₂ = 1.5 − 0.25/3 = 1.416667, x₃ = 1.414216 รากคือ √2 = 1.414214

ใกล้ราก นิวตันเพิ่มจำนวนหลักที่ถูกต้องประมาณสองเท่าในทุกขั้น อาจล้มเหลวเมื่อ f′(xₙ) ใกล้ 0 หรือเมื่อจุดเริ่มต้นอยู่ไกลจากราก

เก็บอย่างน้อยหกหลักในทุกรอบการวนซ้ำ การปัดเร็วไปทำให้วิธีไม่ดีขึ้น

ตรวจสอบตนเอง หนึ่งขั้นของนิวตันสำหรับ f(x) = x² − 5 จาก x₀ = 2 ให้…
  1. 1.75
  2. 2.25
  3. 2.2
  4. 2.5

คำตอบ: 2.25. f(2) = −1 และ f′(2) = 4 ดังนั้น x₁ = 2 − (−1)/4 = 2.25 การบวก −1/4 แทนการลบได้ 1.75

3การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น

ตารางให้ค่าเฉพาะบางจุด การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นลากเส้นตรงระหว่างจุดในตารางสองจุดที่อยู่ติดกัน:

y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)

ตัวอย่าง: ตารางให้ f(1) = 2.0 และ f(2) = 2.6 ที่ x = 1.4 สัดส่วนคือ 0.4 ดังนั้น f(1.4) ≈ 2.0 + 0.6·0.4 = 2.24

การประมาณค่าผกผันทำแบบเดียวกันแต่กลับด้าน: เพื่อหาที่ y = 2.3 สัดส่วนคือ (2.3 − 2.0)/0.6 = 0.5 ดังนั้น x ≈ 1.5

4กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สัน

เพื่ออินทิเกรต f จาก a ถึง b ให้แบ่งช่วงเป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀, x₁, …, xₙ

กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแทนเส้นโค้งในแต่ละแถบด้วยเส้นตรง จุดต่อภายในแต่ละจุดอยู่ในสองแถบ จึงนับสองครั้ง:

T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
0.51y = x²x

กฎของซิมป์สันพอดีพาราโบลาผ่านสามจุดต่อทีละชุด ต้องการ n เป็นเลขคู่:

S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]

สำหรับ ∫01 x² dx = 1/3 ที่ n = 2 (h = 0.5): T = 0.25·(0 + 0.5 + 1) = 0.375 ขณะที่ S = (0.5/3)·(0 + 1 + 1) = 0.3333 ถูกต้องพอดี

ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² และของซิมป์สันเหมือน h⁴: การลด h ลงครึ่งหนึ่งทำให้ซิมป์สันแม่นยำขึ้นประมาณ 16 เท่า

ตรวจสอบตนเอง กฎสี่เหลี่ยมคางหมูให้น้ำหนักใดแก่จุดต่อ x₀, x₁, x₂, x₃
  1. 1, 1, 1, 1
  2. 1, 2, 2, 1
  3. 1, 4, 2, 1
  4. 1, 4, 4, 1

คำตอบ: 1, 2, 2, 1. จุดปลายทั้งสองอยู่ในหนึ่งแถบและจุดภายในอยู่ในสองแถบ ดังนั้น 1, 2, 2, 1 พร้อมตัวประกอบ h/2 ส่วน 4 เป็นของกฎของซิมป์สัน

5ออยเลอร์และฮอยน์สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์

สำหรับ y′ = f(t, y) ที่ y(t₀) = y₀ ให้เดินหน้าในเวลาด้วยขั้น h วิธีของออยเลอร์ใช้ความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น:

yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)

วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) ทำนายด้วยออยเลอร์ แล้วเฉลี่ยความชันที่ปลายทั้งสอง: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)

ความคลาดเคลื่อนของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) ใช้สี่ความชันและแม่นยำถึง h⁴

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงแก้ y′ = y, y(0) = 1 ด้วยวิธีของออยเลอร์และ h = 0.1 จนถึง t = 0.3 แล้วเปรียบเทียบกับคำตอบที่แท้จริง eᵗ

1

ขั้นที่ 1

y₁ = 1 + 0.1·1 = 1.1
2

ขั้นที่ 2

y₂ = 1.1 + 0.1·1.1 = 1.21
3

ขั้นที่ 3

y₃ = 1.21 + 0.1·1.21 = 1.331
4

เปรียบเทียบ

ค่าที่แท้จริงคือ e0.3 = 1.349859 ดังนั้นความคลาดเคลื่อนรวมคือ 0.0189 หนึ่งขั้นของฮอยน์จาก y₀ จะให้ 1 + 0.05·(1 + 1.1) = 1.105 เทียบกับ e0.1 = 1.105171

คำตอบ

y(0.3) ≈ 1.331 ด้วยออยเลอร์; ความคลาดเคลื่อน 0.019 ลดลงโดยประมาณตามสัดส่วนของ h

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและคำถามในข้อสอบ

  • นับจุดกึ่งกลางแรกของวิธีแบ่งครึ่งเป็นขั้นที่ 0 หรือเก็บครึ่งที่ผิดของช่วง
  • เขียน x − f′/f แทน x − f/f′ ในวิธีของนิวตัน
  • ลืมตัวประกอบ 2 ที่จุดต่อภายใน หรือใช้ h แทน h/2 ในกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
  • ใช้กฎของซิมป์สันกับจำนวนแถบที่เป็นเลขคี่
  • ในวิธีของออยเลอร์ ใช้ความชันที่ปลายของขั้น หรือทำน้อยไปหนึ่งขั้น

ง่าย: วิธีแบ่งครึ่ง การวนซ้ำของนิวตัน และการประมาณค่าในช่วงในตาราง ปานกลาง: กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สัน ความคลาดเคลื่อน และจำนวนแถบที่ต้องใช้ ยาก: ขั้นของออยเลอร์ ฮอยน์ และรุงเง–คุตตาสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์

ตรวจสอบตนเอง y′ = 2y ที่ y(0) = 1 หนึ่งขั้นของออยเลอร์ที่ h = 0.2 ให้ค่าเท่าใด
  1. 1.2
  2. 1.49
  3. 1.4
  4. 2.4

คำตอบ: 1.4. y₁ = 1 + 0.2·(2·1) = 1.4 การลืมตัวประกอบ 2 ในความชันได้ 1.2; 1.49 คือค่าที่แท้จริง e0.4

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

วิธีแบ่งครึ่งเริ่มบนช่วงที่ยาว 4 ทุกขั้นแบ่งช่วงเป็นครึ่งหนึ่ง ต้องใช้อย่างน้อยกี่ขั้น n ก่อนที่ช่วงจะสั้นกว่า 0.0001

b − a = 4ε = 0.0001

จงหา n

แสดงคำใบ้
  1. หลัง n ขั้น ช่วงมีความยาว (b − a)/2ⁿ
  2. แก้ 4/2ⁿ < 0.0001 ดังนั้น 2ⁿ > 40000
  3. n > log₂(40000) = 15.29
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การหารากและการประมาณค่าในช่วง: วิธีแบ่งครึ่งรักษาช่วง [a, b] ที่ f เปลี่ยนเครื่องหมาย แต่ละขั้นหาจุดกึ่งกลาง c = (a + b)/2 และเก็บครึ่งที่เครื่องหมายยังเปลี่ยน ดังนั้นหลัง n ขั้นช่วงกว้าง (b − a)/2ⁿ วิธีนิวตัน–ราฟสันตามเส้นสัมผัสไปถึงแกน: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); ใกล้รากเดี่ยว จำนวนหลักที่ถูกต้องเพิ่มเป็นประมาณสองเท่าต่อขั้น การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างจุดในตารางสองจุด: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)

เงื่อนไข

4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000

ลอการิทึม

n > ln(40000)/ln 2 = 15.29
n = 16

ตรวจสอบ

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

คำตอบ

n = 16
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
xy00.511.5

ประมาณ ∫01.5 √(1 + x³) dx ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้ n = 3 แถบ ให้ T

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 3

จงหา T

แสดงคำใบ้
  1. h = (1.5 − 0)/3 = 0.5; จุดต่อคือ 0, 0.5, 1, 1.5
  2. น้ำหนัก: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ
  3. ผลบวกถ่วงน้ำหนักคือ Σ wᵢfᵢ = 8.041398
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ixᵢf(xᵢ)น้ำหนัก001110.51.060662211.414214231.52.091651

จุดต่อและค่า

h = 0.5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1.06066 + 2·1.414214 + 2.09165 = 8.041398

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

T = (0.5/2)·8.041398 = 2.01

คำตอบ

T = 2.01

อินทิกรัลนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นเวลาที่ต้องใช้กฎเชิงตัวเลขพอดี

ตัวอย่างที่ 3ยาก
00.10.20.30.40.40.60.81ty(0, 0.5)

ใช้วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) ด้วย h = 0.2 สำหรับ y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0.5 เพื่อประมาณ y2 ≈ y(0.4)

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.2

จงหา y2

แสดงคำใบ้
  1. แต่ละขั้น: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)
  2. ขั้นที่ 1: k₁ = 1, k₂ = 1.139543, y₁ = 0.713954
  3. ต้องใช้ 2 ขั้นเพื่อไปถึง t = 0.4
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁000.511.1395430.71395410.20.7139541.1423061.3681010.964995

ขั้นของฮอยน์

y₁ = 0.5 + (0.2/2)(1 + 1.139543) = 0.713954
y₂ = 0.713954 + (0.2/2)(1.142306 + 1.368101) = 0.964995
00.10.20.30.40.40.60.81ty

กราฟ

y2 = 0.965

คำตอบ

y2 = 0.965

คำถามและคำตอบ

วิธีเชิงตัวเลข คืออะไร

สมการและอินทิกรัลจำนวนมากไม่มีสูตรสำหรับคำตอบ: x = cos x, ∫e−x²dx หรือสมการเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่ วิธีเชิงตัวเลขคำนวณคำตอบทีละขั้นตามความแม่นยำที่คุณต้องการ

ตัวอย่าง: f(x) = x² − 2 บน [1, 2] c₁ = 1.5 ให้ f = 0.25 > 0 ดังนั้นเก็บ [1, 1.5] c₂ = 1.25 ให้ f = −0.4375 < 0 ดังนั้นเก็บ [1.25, 1.5] จากนั้น c₃ = 1.375

จะแก้โจทย์ วิธีเชิงตัวเลข ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
  2. สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
  3. สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
  4. สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน วิธีเชิงตัวเลข มีอะไรบ้าง
  • เก็บครึ่งที่ผิดของช่วงในวิธีแบ่งครึ่ง หรือนับขั้นผิด
  • เขียน x − f′/f แทน x − f/f′ ในนิวตัน–ราฟสัน
  • ให้จุดต่อภายในมีน้ำหนัก 1 ในกฎสี่เหลี่ยมคางหมู หรือใช้ซิมป์สันกับจำนวนแถบที่เป็นเลขคี่
  • ปัดค่าการวนซ้ำเร็วเกินไป
  • ทำขั้นออยเลอร์น้อยหรือมากไปหนึ่งขั้นเมื่อไปถึงเวลาสุดท้าย
แบบฝึกหัด วิธีเชิงตัวเลข ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: การหารากและการประมาณค่าในช่วง
  • ปานกลาง: กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สัน
  • ยาก: ออยเลอร์ ฮอยน์ และรุงเง–คุตตา

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

อนุพันธ์อินทิกรัลสมการเชิงอนุพันธ์

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

สมการเชิงอนุพันธ์วิธีเชิงตัวเลข

หัวข้ออื่นในคณิตศาสตร์และสถิติ

ลิมิตอนุพันธ์การหาค่าเหมาะที่สุดอินทิกรัลลำดับและอนุกรมแคลคูลัสหลายตัวแปรสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนเชิงซ้อนเมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันทฤษฎีกราฟทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ความน่าจะเป็นสถิติเชิงพรรณนาการแจกแจงปกติช่วงความเชื่อมั่นการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นการถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์การทดสอบไคสแควร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน วิธีเชิงตัวเลข พร้อมเฉลย
ฝึก วิธีเชิงตัวเลข ฟรีฝึก วิธีเชิงตัวเลข เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร