เรียนรู้ จำนวนเชิงซ้อน ตั้งแต่ต้น 1 จำนวนเชิงซ้อนคืออะไรสมการ x² = −1 ไม่มีคำตอบจริง วิศวกรเพิ่มจำนวนใหม่ j ที่มี j² = −1 นักคณิตศาสตร์เขียน i; งานวิศวกรรมใช้ j เพราะ i หมายถึงกระแสอยู่แล้ว
จำนวนเชิงซ้อน มีรูป z = a + jb จำนวน a คือส่วนจริง และ b คือส่วนจินตภาพ : Re(z) = a และ Im(z) = b
คุณวาด z เป็นจุด (a, b) ในแผนภาพอาร์กองด์ ได้: ส่วนจริงตามแกนนอน ส่วนจินตภาพตามแกนตั้ง
Re Im θ z = 3 + j2 |z| z̄ = 3 − j2 3 2 ระยะจากจุดกำเนิดคือมอดูลัส |z| = √(a² + b²) มุมจากแกนจริงบวกคืออาร์กิวเมนต์ θ ภาพสะท้อนในกระจกของแกนจริง z̄ = a − jb คือสังยุค
ตรวจสอบตนเอง มอดูลัสของ z = 3 − j4 คือเท่าใด25 5 7 −1 คำตอบ: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5 การบวก 3 กับ 4 ได้ 7 และการลืมรากที่สองได้ 25
2 การบวก การคูณ และการหารบวกและลบ ทีละส่วน: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j
คูณ กระจายวงเล็บและแทน j² ด้วย −1:
(2 + j3)(1 − j4) = 2 − j8 + j3 − j²12 = 2 + 12 − j5 = 14 − j5
จำนวนคูณสังยุคของมันเป็นจำนวนจริงเสมอ: (a + jb)(a − jb) = a² + b²
หาร โดยคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน แล้วตัวส่วนจะกลายเป็นจำนวนจริง:
(4 + j2)/(1 + j) = (4 + j2)(1 − j)/((1 + j)(1 − j)) = (6 − j2)/2 = 3 − j
ตรวจสอบตนเอง (1 + j)(1 − j) เท่ากับเท่าใด0 1 − j 2 2j คำตอบ: 2. มันคือจำนวนคูณสังยุคของมัน: 1² + 1² = 2 การเขียน 1 − j² เป็น 1 − 1 = 0 คือการลืมว่า j² = −1 ดังนั้น −j² = +1
3 รูปเชิงขั้วและรูปเอกซ์โพเนนเชียลจุดหนึ่งสามารถกำหนดด้วยระยะทางและมุมของมันก็ได้: z = r∠θ โดย r = |z| และ θ = arg z กลับเป็นรูปเชิงสี่เหลี่ยมด้วย a = r cos θ และ b = r sin θ
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
รูปสุดท้ายใช้สูตรของออยเลอร์ ejθ = cos θ + j sin θ ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล θ ต้องเป็นเรเดียน
ระวังจตุภาค เครื่องคิดเลขให้ atan(b/a) ระหว่าง −90° และ 90° ถ้า a < 0 จุดอยู่ทางซ้าย ดังนั้นให้บวกหรือลบ 180°
ตัวอย่าง: z = −2 + j2 จะได้ r = √8 = 2.828 มุมอ้างอิงคือ atan(2/2) = 45° และจุดอยู่ในจตุภาคที่สอง ดังนั้น θ = 180° − 45° = 135°
ตรวจสอบตนเอง อาร์กิวเมนต์ของ z = −1 − j ระหว่าง −180° และ 180° คือเท่าใด135° 45° −135° −45° คำตอบ: −135°. จุดอยู่ในจตุภาคที่สาม มุมอ้างอิงคือ 45° ดังนั้น θ = −(180° − 45°) = −135° atan(−1/−1) = 45° ชี้ไปยังจตุภาคตรงข้าม
4 การคูณในรูปเชิงขั้ว เลขยกกำลัง และรากในรูปเชิงขั้ว การคูณง่าย: คูณมอดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์ สำหรับการหาร ให้หารมอดูลัสและลบอาร์กิวเมนต์
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
การทำซ้ำสิ่งนี้ให้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์ : (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
สมการ zⁿ = R∠φ มีรากพอดี n ราก ทุกรากมีมอดูลัส R1/n และอาร์กิวเมนต์ (φ + 360°·k)/n สำหรับ k = 0, 1, …, n − 1
Re Im 2 −1 + j1.732 −1 − j1.732 120° สำหรับ z³ = 8 = 8∠0°: มอดูลัสคือ 2 และอาร์กิวเมนต์คือ 0°, 120° และ 240° (คือ −120°) รากทั้งหลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าบนวงกลม
สมการกำลังสอง z² + pz + q = 0 ที่ p² < 4q มีรากเชิงซ้อน −p/2 ± j√(q − p²/4) พหุนามจริงมีรากเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุคเสมอ
5 ตัวอย่างที่แก้ให้ดูเลขยกกำลังของจำนวนอย่าง 1 + j ทำในรูปเชิงขั้วได้เร็วกว่าการคูณกระจายมาก
ตัวอย่างที่แก้ให้ดู จงคำนวณ (1 + j)6 ด้วยทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์
1 r = √(1² + 1²) = √2 จุดอยู่ในจตุภาคที่หนึ่ง ดังนั้น θ = atan(1/1) = 45°
1 + j = √2∠45°
2 ยกกำลังมอดูลัสด้วย 6 และคูณมุมด้วย 6
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3 270° คือทิศทางเดียวกับ −90°
(1 + j)6 = 8∠−90°
4 8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
คำตอบ (1 + j)6 = −j8 : ส่วนจริง 0 ส่วนจินตภาพ −8
6 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและคำถามในข้อสอบลืมว่า j² = −1 เมื่อคูณกระจาย ทำให้พจน์หนึ่งได้เครื่องหมายผิด หารทีละส่วน: (a + jb)/(c + jd) ไม่เท่ากับ a/c + jb/d ให้ใช้สังยุค ใช้ atan(b/a) เป็นอาร์กิวเมนต์เมื่อ a < 0 ให้ร่างจุดก่อน ใช้องศาใน ejθ หรือปล่อยเครื่องคิดเลขไว้ในโหมดเรเดียนสำหรับ r∠θ ที่กำหนดเป็นองศา ในเดอมัวฟร์: ลืมยกกำลังมอดูลัส หรือให้รากเพียงหนึ่งรากของ zⁿ = w โจทย์ระดับง่าย ถามส่วนหนึ่งของผลคูณ ผลหาร หรือผลบวก ระดับปานกลาง แปลงระหว่างรูปเชิงสี่เหลี่ยม รูปเชิงขั้ว และรูปเอกซ์โพเนนเชียล ระดับยาก ใช้เดอมัวฟร์ รากที่ n และสมการพหุนาม
ตรวจสอบตนเอง z₁ = 2∠30° และ z₂ = 4∠50° z₁·z₂ เท่ากับเท่าใด6∠80° 8∠1500° 8∠20° 8∠80° คำตอบ: 8∠80°. คูณมอดูลัส (2·4 = 8) และบวกอาร์กิวเมนต์ (30° + 50° = 80°) การบวกมอดูลัสได้ 6 และการคูณมุมไม่มีความหมาย
เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป