เรียนรู้ เวกเตอร์: ผลคูณจุดและผลคูณไขว้ ตั้งแต่ต้น
1เวกเตอร์คืออะไร
บางปริมาณต้องการเพียงตัวเลข เช่น มวล 5 kg หรืออุณหภูมิ 20 °C ปริมาณเหล่านี้คือสเกลาร์ (scalar)
ปริมาณอื่นต้องการทิศทางด้วย แรง 40 N ที่ดันขึ้นต่างมากจาก 40 N ที่ดันไปด้านข้าง ปริมาณเหล่านี้คือเวกเตอร์ (vector)
คุณอธิบายเวกเตอร์ด้วยองค์ประกอบ (component): ไปไกลเท่าใดตามแกน x ตามแกน y และตามแกน z เวกเตอร์ a = (4, 3, 0) ไปได้ 4 หน่วยตาม x, 3 ตาม y และ 0 ตาม z
แรง การกระจัด และความเร็วล้วนเป็นเวกเตอร์ วิศวกรใช้คณิตศาสตร์เวกเตอร์เพื่อบวกแรง หามุม และคำนวณโมเมนต์ในสามมิติ
เวกเตอร์บวกกันทีละองค์ประกอบ: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4) นี่คือวิธีหาแรงลัพธ์ของหลายแรง
ตรวจสอบตนเอง ความยาวของเวกเตอร์ a = (3, 4, 0) คือเท่าใด
- 1
- 25
- 5
- 7
คำตอบ: 5. ความยาวคือ √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5 การบวกองค์ประกอบ (7) ผิด เพราะมันตั้งฉากกัน และ 25 ลืมรากที่สอง
2ความยาว ทิศทาง และองค์ประกอบ
ขนาด (magnitude) |a| คือความยาวของเวกเตอร์ เป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามมิติ:
|a| = √(ax² + ay² + az²)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) มีความยาว 1 และชี้ทิศเดียวกัน คุณได้มันโดยหารทุกองค์ประกอบด้วยขนาด:
û = a / |a|
สำหรับ a = (0, 3, 4) ขนาดคือ 5 ดังนั้น û = (0, 0.6, 0.8) ตรวจสอบ: 0.6² + 0.8² = 1
แรงในระนาบ xy มักให้เป็นขนาด F และมุม θ วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x บวก องค์ประกอบของมันคือ:
Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ
โคไซน์และไซน์ให้เครื่องหมายโดยอัตโนมัติ แรงที่ 120° มีองค์ประกอบ x เป็นลบ เพราะ cos 120° = −0.5
เมื่อย้อนจากองค์ประกอบไปหามุม arctan(Ry/Rx) ให้คำตอบเฉพาะระหว่าง −90° ถึง 90° ถ้า Rx เป็นลบ ให้บวก 180° ถ้ามีเพียง Ry เป็นลบ ให้บวก 360°
ตรวจสอบตนเอง องค์ประกอบ y ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางของ a = (0, 3, 4) คือเท่าใด
- 0.12
- 0.43
- 0.6
- 3
คำตอบ: 0.6. หารด้วยขนาด 5: 3/5 = 0.6 ส่วน 3 ลืมหาร, 0.12 หารด้วย |a|² = 25 และ 0.43 หารด้วยผลรวมขององค์ประกอบ (7)
3ผลคูณจุดและผลคูณไขว้
มีสองวิธีคูณเวกเตอร์สองตัว ผลคูณจุด (dot product) ให้ตัวเลข ผลคูณไขว้ (cross product) ให้เวกเตอร์ใหม่
a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ
ที่นี่ θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดวัดว่าเวกเตอร์ชี้ไปทางเดียวกันมากเพียงใด มันเป็นศูนย์เมื่อตั้งฉากกัน
- มุม: cos θ = a·b / (|a|·|b|)
- การฉายสเกลาร์ของ a บน b (ส่วนของ a ตามแนว b): a·b / |b|
- งานที่ทำโดยแรงคงที่ตลอดการกระจัด: W = F·d
- เวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกันเมื่อ a·b = 0
ผลคูณไขว้ a × b เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b ความยาวของมันเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองขึง
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
สำหรับ a = (1, 2, 0) และ b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5) สี่เหลี่ยมด้านขนานมีพื้นที่ 5 และสามเหลี่ยมครึ่งหนึ่งของนั้น คือ 2.5
ลำดับสำคัญ: b × a = −(a × b) โมเมนต์ (moment) ของแรง F ที่กระทำที่จุด A รอบจุด O คือ M = r × F โดย r = A − O
ตรวจสอบตนเอง สำหรับ a = (2, 1, 0) และ b = (1, 4, 0) องค์ประกอบ z ของ a × b คือเท่าใด
- 6
- 7
- 9
- −7
คำตอบ: 7. องค์ประกอบ z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7 ส่วน −7 คือ b × a (สลับลำดับ), 6 คือผลคูณจุด และ 9 บวกผลคูณสองตัวแทนที่จะลบ
4วิธีทำทีละขั้น
- เขียนเวกเตอร์ทุกตัวเป็นองค์ประกอบ สำหรับแรงที่ให้เป็นขนาดและมุม ใช้ F·cos θ และ F·sin θ
- ถ้าโจทย์ให้จุด ให้สร้างเวกเตอร์จากจุดเหล่านั้น: เวกเตอร์จาก A ไป B คือ B − A
- ตัดสินใจว่าต้องใช้เครื่องมือใด ความยาวและทิศทาง: ขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย มุม การฉาย และงาน: ผลคูณจุด พื้นที่ เวกเตอร์ตั้งฉาก และโมเมนต์: ผลคูณไขว้
- เขียนสูตรก่อน แล้วใส่ตัวเลขทีละองค์ประกอบ เก็บเครื่องหมายไว้ในวงเล็บ
- ตรวจผลลัพธ์: เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมีความยาว 1, a × b ตั้งฉากกับ a (ดังนั้น a·(a × b) = 0) และมุมระหว่างเวกเตอร์อยู่ระหว่าง 0° ถึง 180°
สำหรับเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว ให้ใช้ n = a × b แล้วหารด้วยความยาวของมัน ถ้าโจทย์ต้องการองค์ประกอบ z เป็นบวกและของคุณเป็นลบ ให้กลับเครื่องหมายทั้งหมด
ปริมาตรของกล่อง (parallelepiped) ที่มีขอบ a, b และ c คือ |a·(b × c)|: ผลคูณไขว้ก่อน แล้วผลคูณจุด
5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู
ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู
ตัวอย่างที่แก้ให้ดูแรงคงที่ F = (6, 2, −3) N ดันวัตถุเป็นเส้นตรงจากจุด A(1, 0, 2) ไปยังจุด B(3, 4, 2) พิกัดมีหน่วยเป็นเมตร จงหางาน W ที่แรงทำ และมุม θ ระหว่างแรงกับการกระจัด
1การกระจัดคือเวกเตอร์จาก A ไป B: ลบจุดเริ่มต้นออกจากจุดสิ้นสุด
d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2งานคือผลคูณจุดของแรงและการกระจัด คูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วบวก
W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4.472 m
4ใช้ผลคูณจุดอีกรูปหนึ่ง F·d = |F|·|d|·cos θ แล้วแก้หา cos θ
cos θ = 20 / (7 · 4.472) = 0.6389
θ = arccos 0.6389 ≈ 50.3°
5งานเป็นบวก มุมจึงต้องน้อยกว่า 90° ซึ่งเป็นเช่นนั้น
ส่วนของแรงตามแนวการเคลื่อนที่คือ |F|·cos θ = 7 · 0.6389 ≈ 4.47 N คูณระยะทาง 4.472 m ได้ 20 J อีกครั้ง
คำตอบ W = 20 J และ θ ≈ 50.3°
6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- บวกขนาดแทนที่จะบวกองค์ประกอบ แรง 3 N และ 4 N ที่ตั้งฉากกันให้ 5 N ไม่ใช่ 7 N
- ใช้พิกัดของจุดแทน r = A − O ในโมเมนต์
- เครื่องหมายขององค์ประกอบกลาง (y) ของผลคูณไขว้ผิด คือ azbx − axbz ไม่ใช่กลับกัน
- สลับลำดับในผลคูณไขว้ b × a ชี้ทิศตรงข้ามกับ a × b
- ใช้ arctan หาทิศทางโดยไม่ตรวจว่าเวกเตอร์อยู่ในควอดแรนต์ใด
- ลืม ½ สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม: มันคือครึ่งหนึ่งของ |AB × AC|
ตรวจสอบตนเอง แรง F = (0, 10, 0) N กระทำที่จุด A(3, 0, 0) m ขนาดของโมเมนต์รอบ O(1, 0, 0) m คือเท่าใด
- 10 N·m
- 20 N·m
- 30 N·m
- 40 N·m
คำตอบ: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m ดังนั้น M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m การใช้จุด A เองเป็น r ได้ 30 N·m, A + O ได้ 40 N·m และ O เพียงอย่างเดียวได้ 10 N·m
7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร
- ง่าย: ขนาดและองค์ประกอบ ความยาวของเวกเตอร์ องค์ประกอบหนึ่งของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย องค์ประกอบของแรงที่ให้เป็นขนาดและมุม หรือขนาดหรือทิศทางของแรงลัพธ์ของสองแรง
- ปานกลาง: ผลคูณจุด ผลคูณจุด มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว การฉายสเกลาร์ งานที่แรงทำระหว่างสองจุด หรือค่า k ที่ทำให้เวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกัน
- ยาก: ผลคูณไขว้และโมเมนต์ องค์ประกอบหนึ่งของ a × b พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสามเหลี่ยม โมเมนต์ของแรงรอบจุดหนึ่ง เวกเตอร์ตั้งฉากหนึ่งหน่วย หรือปริมาตรของกล่องจากผลคูณสามตัว
สำหรับคำถามความตั้งฉาก ให้ตั้ง a·b = 0 มันให้สมการเชิงเส้นหนึ่งสมการใน k
สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุม A, B และ C ใช้เวกเตอร์ขอบ AB = B − A และ AC = C − A พื้นที่คือ ½·|AB × AC|
เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป