คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2: แบบฝึกหัดและข้อสอบเก่า

วิชาคณิตศาสตร์วิชาที่สองสำหรับวิศวกร: สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เมทริกซ์และเวกเตอร์ เทคนิคการอินทิเกรตกับปริมาตรของทรงตันครึ่งหมุน อนุพันธ์ย่อยและอินทิกรัลสองชั้น อนุกรมและพหุนามเทย์เลอร์ การแปลงลาปลาซและคอนโวลูชัน เครื่องมือเหล่านี้คือสิ่งที่วิชาวงจร การสั่น และการควบคุมต่อยอด

ฝึกรายวิชานี้ฟรี ฝึกรายวิชานี้ทำข้อสอบจำลองโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

ชุดสรุปเร่งรัด (PDF)สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำ และโจทย์ฝึกพร้อมเฉลยละเอียด พร้อมพิมพ์

หัวข้อในรายวิชานี้

เทคนิคทำข้อสอบวิชา คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2

สำหรับ ODE เชิงเส้น ให้เขียนสมการลักษณะเฉพาะก่อน: รากของมันกำหนดรูปแบบของคำตอบ
ในการอินทิเกรตทีละส่วน ให้เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์
ใช้ตารางลาปลาซและเศษส่วนย่อย แทนการอินทิเกรตการแปลงด้วยมือ

ตัวอย่างวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์ง่าย

สำหรับสมการ y″ + 4y′ + 3y = 0 จงหารากของสมการลักษณะเฉพาะ r ที่ใกล้ศูนย์ที่สุด ซึ่งกำหนดว่าคำตอบหมดไปช้าเพียงใด

y″ + 4y′ + 3y = 0

จงหา r

แสดงคำใบ้

แทน y = e^rt
r² + 4r + 3 = 0.
แยกตัวประกอบหรือใช้สูตรกำลังสอง

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

สมการลักษณะเฉพาะ

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

ราก

r = −1, r = −3

ใกล้ศูนย์ที่สุด: r = −1

คำตอบ

r = −1

คำตอบทั่วไปคือ y = A·e^−1t + B·e^−3t

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

จงหา det A

แสดงคำใบ้

กระจายตามแถวแรกด้วยเครื่องหมาย + − +
แต่ละพจน์คือสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ 2×2 ที่เหลือเมื่อขีดฆ่าแถวและหลักของมัน
ไมเนอร์: 0, −30, −10.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

คำตอบ

det A = 120

การฝึกทำงานอย่างไร

“ฝึกรายวิชานี้” ผสมโจทย์จากทุกหัวข้อของวิชา เหมือนข้อสอบจริง
โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ข้อสอบจำลองจับเวลาและไม่มีคำใบ้ และคุณจะได้คะแนนและการทบทวนฉบับเต็มเมื่อจบ

เครื่องคำนวณสำหรับรายวิชานี้

เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซผกผัน (เศษส่วนย่อย)เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ เครื่องคำนวณดีเทอร์มินันต์และอินเวอร์สของเมทริกซ์เครื่องคำนวณค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ เครื่องคำนวณครึ่งชีวิตและการสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล เครื่องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (2×2 และ 3×3)เครื่องคำนวณอินทิกรัล (จำกัดเขตและไม่จำกัดเขต)

รายวิชาที่เกี่ยวข้อง

คณิตศาสตร์วิศวกรรม แคลคูลัส 2 วิธีเชิงตัวเลข โจทย์ฝึก AP Calculus สมการเชิงอนุพันธ์สัญญาณและระบบ แคลคูลัส 1 สถิตยศาสตร์