การแปลงลาปลาซ: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: การแปลงลาปลาซ คืออะไร

วงจร มอเตอร์ และถังอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์: เอาต์พุตขึ้นกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวมันเอง การแก้โดยตรงช้า คุณแก้ปัญหาด้วยพีชคณิตธรรมดาใน s แล้วแปลผลกลับเป็นเวลา ขั้นสุดท้ายนั้นคือการแปลงผกผัน

Q: จะแก้โจทย์ การแปลงลาปลาซ ทีละขั้นได้อย่างไร

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

Q: แบบฝึกหัด การแปลงลาปลาซ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: คู่ในตารางและทฤษฎีบทค่า ปานกลาง: การแปลงผกผันด้วยเศษส่วนย่อย ยาก: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและฟังก์ชันถ่ายโอน โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด การแปลงลาปลาซ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: คู่ในตารางและทฤษฎีบทค่า, การแปลงผกผันด้วยเศษส่วนย่อย, สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและฟังก์ชันถ่ายโอน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

สัญญาณ f(t) มีการแปลงลาปลาซ F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)) จงใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายหาค่า f(∞) ที่ f(t) เข้าสู่

F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10))

โจทย์ถัดไป →

ฝึก การแปลงลาปลาซ ฟรี ฝึก การแปลงลาปลาซ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายคู่ในตารางและทฤษฎีบทค่า
ปานกลางการแปลงผกผันด้วยเศษส่วนย่อย
ยากสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและฟังก์ชันถ่ายโอน

เรียนรู้ การแปลงลาปลาซ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: สมการเชิงอนุพันธ์, อินทิกรัล

1การแปลงลาปลาซทำอะไร

วงจร มอเตอร์ และถังอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์: เอาต์พุตขึ้นกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวมันเอง การแก้โดยตรงช้า

การแปลงลาปลาซเปลี่ยนปัญหาเช่นนี้เป็นพีชคณิต คุณสลับทุกฟังก์ชันของเวลา f(t) เป็นฟังก์ชัน F(s) ของตัวแปรใหม่ s

คุณแก้ปัญหาด้วยพีชคณิตธรรมดาใน s แล้วแปลผลกลับเป็นเวลา ขั้นสุดท้ายนั้นคือการแปลงผกผัน

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt

คุณแทบไม่ใช้อินทิกรัลนี้เอง ในทางปฏิบัติคุณดูคู่การแปลงในตาราง เหมือนคำในพจนานุกรมระหว่างสองภาษา

รูปแสดงสัญญาณสามแบบที่พบบ่อย: ค่าคงที่ 1 (ขั้น) เอกซ์โพเนนเชียลที่ลดลง และไซน์ ใต้แต่ละรูปคือการแปลงของมัน

ตรวจสอบตนเอง การแปลงลาปลาซของสัญญาณคงที่ f(t) = 5 คืออะไร

1/(5s)
5/s
5
5s

คำตอบ: 5/s. ตัวประกอบคงที่อยู่ข้างหน้า และ ℒ{1} = 1/s ดังนั้น ℒ{5} = 5/s การตอบ 5 ลืมว่าการแปลงของค่าคงที่มีตัวประกอบ 1/s เสมอ

2ตารางคู่การแปลง

เรียนรู้ห้าคู่นี้ รวมกับสองกฎ ครอบคลุมเกือบทุกโจทย์สอบ

1 ↔ 1/s
e^−at ↔ 1/(s + a)
t·e^−at ↔ 1/(s + a)²
sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)
cos ωt ↔ s/(s² + ω²)

ภาวะเชิงเส้น: ค่าคงที่อยู่ข้างหน้า และผลรวมแปลงทีละพจน์ ดังนั้น 3/(s + 2) ↔ 3·e^−2t
การเลื่อน: การแทน s ด้วย s + a คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−at ดังนั้น (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e^−2t·cos 3t

ระวังคู่ไซน์: ตัวเศษต้องเป็น ω เอง สำหรับ 12/(s² + 9) คุณมี ω = 3 ดังนั้นเขียน 12 = 4·3 ผลลัพธ์คือ 4·sin 3t

ใน sin ωt และ cos ωt มุม ωt เป็นเรเดียน ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นเรเดียนก่อนคำนวณ

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = 6/(s + 3) + 2/s และคำนวณ f(0.5)

จับคู่แต่ละพจน์กับคู่ในตาราง

6/(s + 3) มีรูป 1/(s + a) โดย a = 3 คูณ 6 พจน์ 2/s คือค่าคงที่ 2

6/(s + 3) ↔ 6·e^−3t 2/s ↔ 2

เขียน f(t)

บวกสองส่วน (ภาวะเชิงเส้น):

f(t) = 6·e^−3t + 2

คำนวณที่ t = 0.5

f(0.5) = 6·e^−1.5 + 2 = 6·0.2231 + 2 = 3.34

คำตอบ

f(t) = 6·e^−3t + 2 ดังนั้น f(0.5) ≈ 3.34

ตรวจสอบตนเอง การแปลงผกผันของ 8/(s² + 16) คืออะไร

2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t

คำตอบ: 2·sin 4t. ω² = 16 ดังนั้น ω = 4 คู่ต้องการ 4 ในตัวเศษ: 8 = 2·4 ซึ่งให้ 2·sin 4t ส่วน 8·sin 4t ลืมหารด้วย ω ส่วนโคไซน์เป็นของ s ในตัวเศษ

3ค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายโดยไม่ต้องผกผัน

บางครั้งคุณต้องการเพียงว่า f(t) เริ่มที่ไหนหรือจบที่ไหน สองทฤษฎีบทให้ค่าเหล่านี้โดยตรงจาก F(s)

f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s) f(∞) = lim_s→0 s·F(s)

ค่าเริ่มต้น (s → ∞): สำหรับ s ที่มากมาย เฉพาะกำลังสูงสุดของ s ในตัวเศษและตัวส่วนนับ
ค่าสุดท้าย (s → 0): ตัดตัวประกอบ s แล้วตั้ง s = 0 ในทุกตัวประกอบที่เหลือ รวมถึงศูนย์
ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายใช้ได้เฉพาะถ้า f(t) เข้าที่จริง: โพลทั้งหมดของ s·F(s) ต้องมีส่วนจริงเป็นลบ

ค่าสุดท้าย: สำหรับ F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) คุณได้ s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)) ที่ s = 0 เป็น 12/6 = 2 ดังนั้น f(∞) = 2

ค่าเริ่มต้น: สำหรับ F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) คุณได้ s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6) สำหรับ s ที่มาก มันทำตัวเหมือน 3s²/s² ดังนั้น f(0⁺) = 3

สำหรับความชันเริ่มต้น f′(0⁺) ใช้การแปลงของอนุพันธ์ ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺) แล้วใช้ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นกับมัน:

f′(0⁺) = lim_s→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]

สำหรับ F(s) เดียวกัน: s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6) คูณด้วย s และให้ s → ∞ กำลังสูงสุดให้ −5s²/s² ดังนั้น f′(0⁺) = −5

ตรวจสอบตนเอง F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)) f(t) เข้าที่ค่าใด

คำตอบ: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)) ซึ่งเป็น 20/20 = 1 ที่ s = 0 การทิ้งตัวประกอบศูนย์ (s + 2) ให้ 0.5 ค่า 0 คือลิมิต s → ∞ ซึ่งเป็นค่าเริ่มต้น

4เศษส่วนย่อย ทีละขั้น

F(s) ส่วนใหญ่ไม่อยู่ในตารางตามที่เป็น คุณแยกเป็นเศษส่วนง่าย ๆ ที่อยู่ในตาราง เรียกว่าเศษส่วนย่อย (partial fractions)

รากของตัวส่วนแต่ละตัวคือโพล โพลเดี่ยวที่ s = −a ให้หนึ่งพจน์ A/(s + a) ซึ่งกลายเป็น A·e^−at ในเวลา

F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e^−at + B·e^−bt

กฎปิดบัง (cover-up rule) หาสัมประสิทธิ์แต่ละตัว เพื่อหา A ปิดบังตัวประกอบ (s + a) ใน F(s) และแทน s = −a ในทุกสิ่งที่เหลือ

ตัวอย่าง: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)) จะได้ A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 และ B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1 ดังนั้น f(t) = 2e^−t − e^−4t

ตำแหน่งของโพลบอกรูปร่าง โพลจริงที่ −3 ให้การลดล้วน ๆ e^−3t คู่เชิงซ้อน −1 ± j2 ให้การสั่นที่ลดลง e^−t คูณ sin 2t หรือ cos 2t

โพลซ้ำ (s + a)²: เขียน A/(s + a) + B/(s + a)² พจน์ที่สองให้ B·t·e^−at ดังนั้น (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e^−t + 3t·e^−t
โพลเชิงซ้อน: ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2² จากนั้น 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e^−2t·sin 2t

แยกตัวประกอบตัวส่วนและเขียนรายการโพล สำหรับกำลังสอง หารากของมันหรือทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
เขียนหนึ่งเศษส่วนต่อหนึ่งโพล: A/s, B/(s + a) และต่อไป โพลซ้ำมีพจน์กำลังสองด้วย
หาแต่ละสัมประสิทธิ์ด้วยกฎปิดบัง รักษาเครื่องหมายของตัวประกอบที่เหลือ
แปลงทุกพจน์กลับเป็นเวลาด้วยตาราง
ใส่เวลา t (เรเดียนสำหรับไซน์และโคไซน์) ตรวจสอบ f(0⁺) และ f(∞) ด้วยทฤษฎีบทค่า

ตรวจสอบตนเอง F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3) A เป็นเท่าใด

2
4
−1
−2

คำตอบ: 2. ปิดบัง (s + 1) และแทน s = −1 ในส่วนที่เหลือ: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2 ส่วน −1 คือ B ส่วน 4 ลืมหารด้วยตัวประกอบที่เหลือ และ −2 พลิกเครื่องหมายของตัวประกอบที่เหลือ: 4/(−2) แทน 4/2

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

นี่คือโจทย์ปานกลางทั่วไป ลองแต่ละขั้นด้วยตัวเองก่อนที่จะเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) ด้วยเศษส่วนย่อย และคำนวณ f(0.5)

ตั้งเศษส่วน

ตัวส่วนแยกตัวประกอบแล้ว โพลคือ s = 0, s = −2 และ s = −3 ทั้งหมดเป็นโพลเดี่ยว

F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)

ปิดบังสำหรับ A

ปิดบังตัวประกอบ s และแทน s = 0 ในส่วนที่เหลือ:

A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2

ปิดบังสำหรับ B และ C

ปิดบัง (s + 2) และแทน s = −2 จากนั้นปิดบัง (s + 3) และแทน s = −3 รักษาทุกเครื่องหมาย

B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6

C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4

กลับเป็นเวลา

แต่ละพจน์เป็นคู่ในตาราง: 2/s ↔ 2 และ B/(s + a) ↔ B·e^−at

f(t) = 2 − 6e^−2t + 4e^−3t

คำนวณที่ t = 0.5

f(0.5) = 2 − 6e⁻¹ + 4e^−1.5 = 2 − 2.207 + 0.893 = 0.685

ตรวจสอบคำตอบ

ที่ t = 0: 2 − 6 + 4 = 0 ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นสอดคล้อง เพราะ s·F(s) → 0 สำหรับ s ที่มาก

สำหรับ t → ∞ เหลือเพียง 2 ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายให้ 12/(2·3) = 2 เช่นกัน

คำตอบ

f(t) = 2 − 6e^−2t + 4e^−3t ดังนั้น f(0.5) ≈ 0.685

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สับสนทฤษฎีบท: s → ∞ ให้ค่าเริ่มต้น f(0⁺) และ s → 0 ให้ค่าสุดท้าย f(∞)
ลืมตัวประกอบ s ใน s·F(s) หรือทิ้งตัวประกอบศูนย์ เช่น (s + 2) เมื่อตั้ง s = 0
ผิดเครื่องหมายในกฎปิดบัง: ที่ s = −3 ตัวประกอบ (s + 2) เท่ากับ −1 ไม่ใช่ 5
ใช้คู่ไซน์โดยไม่หารด้วย ω: ω/(s² + ω²) ต้องมี ω ในตัวเศษ
คำนวณ sin ωt หรือ cos ωt โดยเครื่องคิดเลขเป็นองศา มุม ωt เป็นเรเดียน
ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายเมื่อ f(t) ไม่เคยเข้าที่ เช่น F(s) = 1/(s² + 4) ซึ่งเป็นไซน์ล้วน ๆ

ตรวจสอบตนเอง F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)) ด้วยกฎปิดบัง สัมประสิทธิ์ B ของ e^−3t เป็นเท่าใด

3
6
−2
−3

คำตอบ: −3. ปิดบัง (s + 3) และแทน s = −3 ในส่วนที่เหลือ: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3 ส่วน 3 บวกคือผิดเครื่องหมาย (เป็นสัมประสิทธิ์ A ของ e^−t) ส่วน −2 หารด้วยค่าโพลแทนตัวประกอบที่เหลือ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: คู่ในตารางและทฤษฎีบทค่า คุณผกผันค่าคงที่ เอกซ์โพเนนเชียล t·e^−at ไซน์ หรือโคไซน์ และคำนวณค่า หรือคุณหา f(0⁺), f(∞) หรือความชันเริ่มต้น f′(0⁺)
ปานกลาง: การแปลงผกผันด้วยเศษส่วนย่อย คุณหาสัมประสิทธิ์หนึ่งตัว A ผกผันโพลเดี่ยวสามตัว s(s + a)(s + b) โพลซ้ำ หรือโพลเชิงซ้อนด้วยการทำกำลังสองสมบูรณ์
ยาก: สมการเชิงอนุพันธ์และฟังก์ชันถ่ายโอน เช่น y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) ที่มีค่าเริ่มต้นกำหนด คุณหา y ที่เวลาหนึ่ง

ในระดับยาก แปลงอนุพันธ์แต่ละตัวพร้อมเงื่อนไขเริ่มต้นของมัน:

ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)

จากนั้นแก้สมการพีชคณิตหา Y(s) และผกผันด้วยเศษส่วนย่อยตามตัวอย่างที่ทำให้ดู

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

สัญญาณ f(t) มีการแปลงลาปลาซ F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)) จงใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายหาค่า f(∞) ที่ f(t) เข้าสู่

F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))

จงหา f(∞)

แสดงคำใบ้

ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim s·F(s) เมื่อ s → 0
ก่อนอื่นตรวจสอบว่าโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย เพื่อให้ f(t) เข้าสู่ค่าหนึ่งจริง
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ตรวจสอบว่าทฤษฎีบทใช้ได้

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ f(t) เข้าสู่ค่าหนึ่ง โพลบนแกนจินตภาพหรือในระนาบครึ่งขวาจะให้คำตอบผิด

โพลของ s·F(s): s² + 2s + 23 = 0 ทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย

ค่าสุดท้าย

f(∞) = lim_s→0 s·F(s) = lim_s→0 28/(s² + 2s + 23) = 28/23 = 1.217

คำตอบ

f(∞) = 1.217

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−6t + B·e^−8t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

จงหา A

แสดงคำใบ้

แยกตัวประกอบส่วน: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
กฎปิดบัง: A = [(s + 6)·F(s)] ที่ s = −6
ที่ s = −6: เศษ 16 ตัวประกอบอื่น 2

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)

F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 6) และตั้ง s = −6: พจน์ B หายไป

A = (s + 22)/(s + 8) |_{s = −6} = 16/2 = 8

คำตอบ

A = 8

(B = −7 ดังนั้น f(t) = 8·e^−6t − 7·e^−8t)

ตัวอย่างที่ 3ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t) โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 5 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.6)

y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t)y(0) = 5y′(0) = 0u(t) = 5t = 0.6 s

จงหา y(0.6)

แสดงคำใบ้

แปลง: (s² + 7s + 10)·Y − (s + 7)·5 = 30·5/s
คูณตลอดด้วย s: Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
A = 15, B = −16.67, C = 6.667.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

แปลงสมการ

(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s

Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))

เศษส่วนย่อย

A = 150/(2·5) = 15

B = 100/((−2)·3) = −16.67

C = 100/((−5)·(−3)) = 6.667

ผลลัพธ์

y(t) = 15 − 16.67·e^−2t + 6.667·e^−5t

y(0.6) = 10.31

คำตอบ

y(0.6) = 10.31

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 5

คำถามและคำตอบ

การแปลงลาปลาซ คืออะไร

จะแก้โจทย์ การแปลงลาปลาซ ทีละขั้นได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การแปลงลาปลาซ มีอะไรบ้าง

ที่ s = 0 ตัวประกอบ s² + 2s + 23 เท่ากับพจน์คงที่ 23
ให้ใช้ลิมิต s → 0 ไม่ใช่ s = 1
นั่นคือ B สัมประสิทธิ์ของ e^−8t ส่วน A เป็นของโพล s = −6

แบบฝึกหัด การแปลงลาปลาซ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: คู่ในตารางและทฤษฎีบทค่า
ปานกลาง: การแปลงผกผันด้วยเศษส่วนย่อย
ยาก: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและฟังก์ชันถ่ายโอน

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

สมการเชิงอนุพันธ์อินทิกรัล

เรียนต่อด้วย

แผนภาพบล็อก แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซผกผัน (เศษส่วนย่อย)เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

วิศวกรรมระบบควบคุม 1 สัญญาณและระบบ คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 ฝึกข้อสอบ FE ไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล

หัวข้ออื่นในไฟฟ้า

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน การซ้อนทับ เทวินินและนอร์ตัน การวิเคราะห์โหนด การวิเคราะห์เมช ทรานเซียนต์ RC และ RL อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์กำลังไฟฟ้าสามเฟส หม้อแปลงไฟฟ้า มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง วงจรออปแอมป์ไดโอดและทรานซิสเตอร์ตัวแปลง DC-DC ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป บริดจ์วีตสโตนและสเตรนเกจ การได้มาซึ่งข้อมูลและการสุ่ม แผนภาพบล็อก การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID คอนโวลูชันและระบบ LTI

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การแปลงลาปลาซ พร้อมเฉลย