การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได คืออะไร

เส้นโค้ง a ขึ้นอย่างราบรื่นและไม่เกินเลย นั่นคือระบบอันดับหนึ่ง เช่น วงจร RC หรือถังที่ให้ความร้อน เส้นโค้ง b เกินเลย แกว่งไม่กี่ครั้ง แล้วเข้าที่ นั่นคือระบบอันดับสองที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต เช่น ระบบกันสะเทือนรถหรือมวลบนสปริง

Q: จะแก้โจทย์ การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได ทีละขั้นได้อย่างไร

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 −ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

Q: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได มีอะไรบ้าง

เอาต์พุตเข้าสู่ค่า K·U ไม่ใช่ U: อัตราขยาย DC คือ G(0) = 2 แสดงค่าพุ่งเกินเป็นร้อยละ: คูณด้วย 100 เลขชี้กำลังคือ −ζπ/√(1 − ζ²)

Q: แบบฝึกหัด การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: ระบบอันดับหนึ่ง ปานกลาง: พารามิเตอร์ของระบบอันดับสอง ยาก: ระบบทางกายภาพและการออกแบบ โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ระบบอันดับหนึ่ง, พารามิเตอร์ของระบบอันดับสอง, ระบบทางกายภาพและการออกแบบ

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

ตัวเก็บประจุที่ยังไม่มีประจุ C = 47 µF ถูกประจุจากแหล่งกำเนิดแรงดันขั้นบันได 5 V ผ่านตัวต้านทาน R = 4.7 kΩ จงหาแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ v_C ที่ t = 220.9 ms

R = 4.7 kΩC = 47 µFV = 5 Vt = 220.9 ms

โจทย์ถัดไป →

ฝึก การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได ฟรี ฝึก การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายระบบอันดับหนึ่ง
ปานกลางพารามิเตอร์ของระบบอันดับสอง
ยากระบบทางกายภาพและการออกแบบ

เรียนรู้ การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ทรานเซียนต์ RC และ RL, การแปลงลาปลาซ

1การตอบสนองต่อขั้นคืออะไร

ขั้น (step) คืออินพุตที่กระโดดจาก 0 เป็นค่าคงที่ที่ t = 0 แล้วคงอยู่ที่นั่น นึกถึงการเปิดเครื่องทำความร้อน หรือการเหยียบคันเร่งแล้วค้างไว้

การตอบสนองต่อขั้นคือเอาต์พุตตามมาอย่างไร มันกระโดดทันทีไม่ได้: มันเคลื่อนไปสู่ค่าสุดท้ายใหม่ y(∞) และเข้าที่ตรงนั้น

เส้นโค้ง a ขึ้นอย่างราบรื่นและไม่เกินเลย นั่นคือระบบอันดับหนึ่ง เช่น วงจร RC หรือถังที่ให้ความร้อน

เส้นโค้ง b เกินเลย แกว่งไม่กี่ครั้ง แล้วเข้าที่ นั่นคือระบบอันดับสองที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต เช่น ระบบกันสะเทือนรถหรือมวลบนสปริง

ค่าสุดท้ายมาจากอัตราขยาย DC G(0): ขั้นขนาด U เข้าที่ y(∞) = G(0)·U นี่คือทฤษฎีบทค่าสุดท้ายจากการแปลงลาปลาซ

ตรวจสอบตนเอง ระบบ G(s) = 3/(2s + 1) รับขั้นขนาด 4 ค่าสุดท้าย y(∞) เป็นเท่าใด

คำตอบ: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3 ดังนั้น y(∞) = 3·4 = 12 ค่า 4 ลืมอัตราขยาย ค่า 3 ลืมขนาดของขั้น และ 6 หารด้วย 2 ใน 2s ซึ่งหายไปที่ s = 0

2ระบบอันดับหนึ่ง

ระบบอันดับหนึ่งมีรูปแบบมาตรฐานด้านล่าง K คืออัตราขยายสถิตและ τ คือค่าคงตัวเวลาในหน่วยวินาที

G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)

ถ้า G(s) เขียนเป็น b/(s + a) ให้หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย a จากนั้น K = b/a และ τ = 1/a

หลัง 1τ เอาต์พุตทำได้ 63% ของการเปลี่ยนแปลง หลัง 3τ 95% หลัง 5τ มากกว่า 99%
เวลาที่ถึงสัดส่วน x ของค่าสุดท้าย: t = −τ·ln(1 − x) สำหรับ 90% t = τ·ln 10 = 2.3τ
เวลาขึ้น (rise time) 10–90% คือ t_r = τ·ln 9 ≈ 2.2τ
สำหรับวงจร RC τ = R·C สังเกตว่า kΩ คูณ µF ให้มิลลิวินาที

ถ้าคุณวัดการตอบสนอง คุณหา τ ย้อนกลับได้ ถ้าเอาต์พุตถึงสัดส่วน x ที่เวลา t แล้ว τ = −t/ln(1 − x)

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

G(s) = 10/(s + 5) รับขั้นขนาด 2 ที่ t = 0 จงหาค่าสุดท้ายและเวลาที่ถึง 90% ของมัน

รูปแบบมาตรฐาน

หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย 5:

G(s) = 2/(0.2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0.2 s

ค่าสุดท้าย

y(∞) = K·U = 2·2 = 4

เวลาถึง 90%

แก้ 1 − e^−t/τ = 0.9 ดังนั้น e^−t/τ = 0.1:

t = −τ·ln(0.1) = 0.2·2.303 = 0.461 s

คำตอบ

y(∞) = 4 และเอาต์พุตถึง 90% หลัง t ≈ 0.461 s

ตรวจสอบตนเอง ค่าคงตัวเวลาของ G(s) = 10/(s + 5) คืออะไร

0.2 s
10 s
2 s
5 s

คำตอบ: 0.2 s. เขียนเป็น 2/(0.2s + 1) ค่าคงตัวเวลาคือ τ = 1/5 = 0.2 s ส่วน 5 s สับสน τ กับ a และ 2 คืออัตราขยาย K ไม่ใช่เวลา

3ระบบอันดับสอง

ระบบอันดับสองมีตัวส่วนกำลังสอง เปรียบเทียบกับรูปแบบมาตรฐาน:

G(s) = K/(s² + 2ζω_ns + ω_n²)

พจน์คงที่คือ ω_n² ดังนั้นความถี่ธรรมชาติคือ ω_n = √(พจน์คงที่) ในหน่วย rad/s
สัมประสิทธิ์ของ s คือ 2ζω_n ดังนั้นอัตราส่วนการหน่วงคือ ζ = (สัมประสิทธิ์ของ s)/(2ω_n)
สำหรับ 0 < ζ < 1 การตอบสนองเกินเลยและสั่น ζ ที่น้อยกว่าหมายถึงการเกินเลยมากกว่า

สำหรับขั้นหนึ่งหน่วย ค่าสุดท้ายคือ G(0) = K/ω_n² ตัวเลขห้าตัวอธิบายรูปร่างของการตอบสนอง:

ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) t_p = π/ω_d
%OS = 100·e^{−ζπ/√(1 − ζ²)} t_s ≈ 4/(ζω_n)

ω_d คือความถี่แบบหน่วง: การตอบสนองสั่นเร็วเพียงใด
t_p คือเวลาถึงจุดสูงสุด เมื่อเอาต์พุตสูงที่สุด %OS คือเปอร์เซ็นต์การเกินเลยเหนือค่าสุดท้าย
t_s คือเวลาเข้าที่ (settling time) หลังจากนั้นเอาต์พุตอยู่ภายใน 2% ของค่าสุดท้าย

โพลทั้งสองคือ s = σ ± jω_d โดยส่วนจริง σ = −ζω_n ระยะจากจุดกำเนิดคือ ω_n และ cos θ = ζ

ตรวจสอบตนเอง ระบบมีตัวส่วน s² + 4s + 25 อัตราส่วนการหน่วง ζ เป็นเท่าใด

0.08
0.4
0.8
2

คำตอบ: 0.4. ω_n = √25 = 5 และ 2ζω_n = 4 ให้ ζ = 4/(2·5) = 0.4 ส่วน 0.8 ลืม 2 ส่วน 0.08 หารด้วย ω_n² แทน ω_n และ 2 คือ ζω_n

4วิธีทำทีละขั้น

ตัดสินอันดับ: ตัวส่วนดีกรี 1 เป็นอันดับหนึ่ง ดีกรี 2 เป็นอันดับสอง
อันดับหนึ่ง: เขียน G(s) เป็น K/(τs + 1) และอ่าน K และ τ
อันดับสอง: เปรียบเทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² หา ω_n ก่อน แล้ว ζ
หาค่าสุดท้าย y(∞) = G(0)·U
ใช้สูตรสำหรับสิ่งที่ถาม: y(t) เวลา t_p, %OS, t_s หรือ σ
ตรวจสอบหน่วย: เวลาเป็นวินาที ω เป็น rad/s และมุมในสูตร e^… และ π เป็นเรเดียน

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

นี่คือโจทย์ปานกลางทั่วไป ลองแต่ละขั้นก่อนที่จะเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

G(s) = 16/(s² + 4s + 16) รับขั้นหนึ่งหน่วย จงหา ζ, ω_n เปอร์เซ็นต์การเกินเลย และเวลาถึงจุดสูงสุด

ความถี่ธรรมชาติ

พจน์คงที่คือ ω_n² = 16

ω_n = √16 = 4 rad/s

อัตราส่วนการหน่วง

สัมประสิทธิ์ของ s คือ 2ζω_n = 4

ζ = 4/(2·4) = 0.5

ζ อยู่ระหว่าง 0 และ 1 ดังนั้นการตอบสนองเกินเลย

เปอร์เซ็นต์การเกินเลย

ζπ/√(1 − ζ²) = 0.5·π/√0.75 = 1.814

%OS = 100·e^−1.814 = 16.3%

เวลาถึงจุดสูงสุด

ω_d = 4·√(1 − 0.25) = 3.464 rad/s

t_p = π/3.464 = 0.907 s

ตรวจสอบคำตอบ

ค่าสุดท้ายคือ G(0) = 16/16 = 1 ดังนั้นจุดสูงสุดประมาณ 1.163 รูปในส่วนก่อนหน้าใช้ระบบเดียวกันนี้

เวลาเข้าที่ 4/(ζω_n) = 4/2 = 2 s ช้ากว่าจุดสูงสุด ตามที่ต้องเป็น

คำตอบ

ω_n = 4 rad/s, ζ = 0.5, %OS ≈ 16.3% และ t_p ≈ 0.907 s

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ถือว่าการขึ้นเป็นเส้นตรง เอกซ์โพเนนเชียลถึง 90% หลัง 2.3τ ไม่ใช่หลัง 0.9τ: ใช้ t = −τ·ln(1 − x)
ใช้ ln(x) แทน ln(1 − x) ลอการิทึมใช้ส่วนที่ยังขาดอยู่
อ่าน τ = a จาก b/(s + a) ค่าคงตัวเวลาคือ 1/a
ใช้ ω_n² เป็น ω_n ให้หารากที่สองของพจน์คงที่
ลืม 2 ใน 2ζω_n หรือใช้ ω_n แทน ω_d ใน t_p = π/ω_d
ตอบการเกินเลยเป็นเศษส่วน (0.163) เมื่อโจทย์ถามเปอร์เซ็นต์ (16.3%)

ตรวจสอบตนเอง G(s) = 2/(s + 4) รับขั้น เอาต์พุตใช้เวลานานเท่าใดถึง 90% ของค่าสุดท้าย

0.026 s
0.225 s
0.576 s
9.21 s

คำตอบ: 0.576 s. τ = 1/4 = 0.25 s และ t = −0.25·ln(0.1) = 0.576 s ส่วน 0.225 s ถือว่าการขึ้นเป็นเส้นตรง (0.9τ) ส่วน 0.026 s ใช้ ln(0.9) แทน ln(0.1) ส่วน 9.21 s ใช้ a = 4 แทน τ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: ระบบอันดับหนึ่ง คุณหา y(∞) เอาต์พุตที่เวลาหนึ่ง เวลาถึงเปอร์เซ็นต์ที่กำหนด τ จากจุดที่วัด หรือเวลาชาร์จของวงจร RC
ปานกลาง: พารามิเตอร์อันดับสอง จาก G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) คุณหา ζ, ω_n, %OS, t_p, t_s หรือส่วนจริง σ ของโพล
ยาก: ระบบทางกายภาพและการออกแบบ มวล–สปริง–ตัวหน่วง หรือวงจร RLC หรือ ζ และ ω_n ที่คำนวณย้อนจากการเกินเลยและเวลาถึงจุดสูงสุดที่วัดได้

สำหรับมวล m ตัวหน่วง c และสปริง k สมการ m·x″ + c·x′ + k·x = F ให้:

ω_n = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k

เพื่อคำนวณย้อนจากการเกินเลย แก้สูตร %OS หา ζ:

ζ = −ln(OS)/√(π² + ln²(OS)), OS = %OS/100

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = 2/(2s + 1) รับอินพุตขั้นบันไดขนาด 2 ที่ t = 0 โดยเริ่มจากสภาวะหยุดนิ่ง จงหาค่าสุดท้าย y(∞) ของเอาต์พุต

G(s) = 2/(2s + 1)U = 2

จงหา y(∞)

แสดงคำใบ้

ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U
G(0) คืออัตราขยาย DC
G(0) = 2.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

อัตราขยาย DC

G(0) = 2

ค่าสุดท้าย

y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4

คำตอบ

y(∞) = 4

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 213/(s² + 8s + 71) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 213/(s² + 8s + 71)

จงหา %OS (%)

แสดงคำใบ้

เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²
ωₙ = √71 = 8.426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0.4747.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8.426 rad/s

2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8.426) = 0.4747

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−1.694 = 18.37 %

คำตอบ

%OS = 18.37 %

ตัวอย่างที่ 3ยาก

มวล m = 2.5 kg แขวนอยู่กับสปริง k = 800 N/m และตัวหน่วงแบบหนืด c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F) เริ่มจากหยุดนิ่งในสมดุล แล้วออกแรงคงที่ F = 10 N กะทันหัน จงหาเวลา t_p ที่การกระจัดมีค่ามากที่สุด

m = 2.5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N

จงหา t_p (s)

แสดงคำใบ้

หารด้วย m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m ดังนั้น ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km))
ωₙ = 17.89 rad/s, ζ = 0.1006.
การกระจัดสุดท้ายคือ F/k = 12.5 mm

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = √(k/m) = √(800/2.5) = 17.89 rad/s

ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2.5)) = 0.1006

ผลลัพธ์

ω_d = 17.8 rad/s

t_p = π/ω_d = 0.1765 s

คำตอบ

t_p = 0.1765 s

คำถามและคำตอบ

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได คืออะไร

จะแก้โจทย์ การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได ทีละขั้นได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได มีอะไรบ้าง

เอาต์พุตเข้าสู่ค่า K·U ไม่ใช่ U: อัตราขยาย DC คือ G(0) = 2
แสดงค่าพุ่งเกินเป็นร้อยละ: คูณด้วย 100
เลขชี้กำลังคือ −ζπ/√(1 − ζ²)

แบบฝึกหัด การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: ระบบอันดับหนึ่ง
ปานกลาง: พารามิเตอร์ของระบบอันดับสอง
ยาก: ระบบทางกายภาพและการออกแบบ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ทรานเซียนต์ RC และ RL การแปลงลาปลาซ

เรียนต่อด้วย

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

วิศวกรรมระบบควบคุม 1 สัญญาณและระบบ วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก ระบบเมคาทรอนิกส์ฝึกข้อสอบ FE ไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล

หัวข้ออื่นในไฟฟ้า

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน การซ้อนทับ เทวินินและนอร์ตัน การวิเคราะห์โหนด การวิเคราะห์เมช ทรานเซียนต์ RC และ RL อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง เรโซแนนซ์ LC ตัวประกอบ Q และแบนด์วิดท์กำลังไฟฟ้าสามเฟส หม้อแปลงไฟฟ้า มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง วงจรออปแอมป์ไดโอดและทรานซิสเตอร์ตัวแปลง DC-DC ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป บริดจ์วีตสโตนและสเตรนเกจ การได้มาซึ่งข้อมูลและการสุ่ม การแปลงลาปลาซ แผนภาพบล็อก แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID คอนโวลูชันและระบบ LTI

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได พร้อมเฉลย